Ein Unternehmen verkauft Schals. Gegeben sind die Kosten als Funktion der Menge und der Preis
je Schal. Drei Begriffe brauchen wir:
| Fixkosten |
Kosten, die immer anfallen, auch wenn kein Schal verkauft wird, zum Beispiel Miete. Hier
160.000 €.
|
| variable Kosten |
Kosten, die mit jedem Stück dazukommen, zum Beispiel Wolle. Hier 7,50 € je Schal. |
| Absatzmenge |
Zahl der verkauften Schals, kurz x. |
| Umsatz |
Geld, das durch den Verkauf hereinkommt: Preis mal Menge. |
| Gesamtkosten |
Fixkosten plus alle variablen Kosten zusammen. |
| Break-Even-Point |
englisch für „Gewinnschwelle“, kurz BEP. Die Menge, bei der Umsatz und Gesamtkosten
gleich groß sind.
|
Gesucht sind drei Zahlen im Break-Even-Point: (1) die Absatzmenge, (2) der Umsatz, (3) die
Gesamtkosten. Mit diesen Nummern sind die Abschnitte rechts überschrieben.
Der Weg: 1. Kosten und Umsatz als Funktion aufschreiben. 2. die Bedingung „Umsatz = Kosten“
aufstellen. 3. nach der Menge auflösen. 4. Umsatz und Kosten mit dieser Menge ausrechnen. 5.
prüfen.
K(x)=160.000+7,50x
x ist die Absatzmenge, also die Zahl der verkauften Schals. K(x) sind die
Gesamtkosten bei dieser Menge.
Die Funktion hat zwei Teile, die sich verschieden verhalten:
| Teil |
Bedeutung |
im Bild |
| 160.000 |
Fixkosten Kfix, bleiben gleich |
Startwert |
| 7,50 · x |
variable Kosten, 7,50 € je Stück (kvar) |
Steigung |
Merke: Großes
K steht für einen Gesamtbetrag. Kleines
k steht für einen Betrag
je Stück. Das „var“ heißt variabel, das „fix“ heißt fix.
Im Bild: Bei x=0 liegt die Kostengerade schon bei 160.000 €, nicht bei null.
U(x)=p⋅x=12,50x
Die Aufgabe nennt nur die Kosten. Für den Vergleich brauchen wir auch den Umsatz,
also das Geld, das durch den Verkauf hereinkommt. Diese Funktion stellen wir selbst auf.
Jeder Schal bringt den Preis p=12,50 €. Bei x Schals sind das 12,50⋅x
Euro.
Ohne Verkauf gibt es keinen Umsatz. Die Gerade beginnt deshalb im Nullpunkt. Ihre Steigung
ist der Preis.
Im Bild: Bei kleinen Mengen liegt der Umsatz
U unter den Kosten
K. Das
Unternehmen macht dort Verlust, weil die Fixkosten noch nicht bezahlt sind.
U(x)=K(x)⟺G(x)=0
Der Gewinn G(x) ist Umsatz minus Kosten: G(x)=U(x)−K(x).
Im Break-Even-Point ist der Gewinn genau null. Das heißt: Umsatz und Kosten sind gleich.
Beide Formulierungen sagen dasselbe. Das Zeichen ⟺ bedeutet „ist
gleichbedeutend mit“: Gilt das eine, gilt auch das andere.
Im Bild ist das der Punkt, an dem sich die beiden Geraden schneiden.
Vorsicht: Der Break-Even-Point ist nicht der höchste Gewinn. Er ist die
Stelle, an der der Gewinn von negativ zu positiv wechselt.
G(x)=5,00x−160.000
Wir setzen U(x) und K(x) in G(x)=U(x)−K(x) ein.
Die Kosten stehen in einer Klammer. Das Minus davor gilt für beide Teile in der
Klammer. Aus −(160.000+7,50x) wird deshalb −160.000−7,50x.
Dann fassen wir die beiden x-Glieder zusammen: 12,50x−7,50x=5,00x.
Probe mit x=0: G(0)=−160.000. Ohne Verkauf fehlen genau die Fixkosten. Das passt.
Ein zweites Beispiel, das im Bild markiert ist: Bei 20.000 Stück ist G(20.000)=5⋅20.000−160.000=100.000−160.000=−60.000 €. Ein negativer Gewinn ist ein Verlust.
Im Bild liegt die Umsatzgerade dort um 60.000 € unter der Kostengerade.
db=12,50−7,50=5,00 €/Stück
Die Zahl 5,00 vor dem x hat einen eigenen Namen: Stückdeckungsbeitrag, kurz db.
Er ist der Preis minus die variablen Kosten je Stück.
Warum „Deckungsbeitrag“? Von jedem verkauften Schal bleiben nach Abzug der variablen
Kosten 5,00 € übrig. Dieser Rest trägt dazu bei, die Fixkosten zu decken.
Merke: Pro Schal kommen 12,50 € herein, aber nur 5,00 € helfen gegen die Fixkosten.
Der obere Balken unten im Panel steht voll für den Preis von 12,50 €. Gefüllt sind nur
5,00 €, also 40 %.
xBEP=dbKfix
Im Break-Even-Point ist der Gewinn null. Wir setzen also G(x)=0 und lösen nach x
auf.
Erst addieren wir 160.000 auf beiden Seiten. Dann teilen wir beide Seiten durch 5,00. Was
man auf einer Seite tut, muss man auch auf der anderen tun, sonst stimmt die Gleichung
nicht mehr.
Allgemein steht da: Fixkosten geteilt durch Stückdeckungsbeitrag. In Worten: „Wie oft
müssen 5,00 € zusammenkommen, bis 160.000 € erreicht sind?“
xBEP heißt: die Menge x im Break-Even-Point.
Vorsicht: Geteilt wird durch den
Stückdeckungsbeitrag, nicht durch den
Preis.
160.000:12,50=12.800 wäre der häufigste Fehler bei dieser Aufgabe.
xBEP=32.000 Stück
160.000:5=32.000. Es müssen also 32.000 Schals verkauft werden.
Einheitenprobe: Oben stehen Euro, unten Euro je Stück. Die Euro kürzen sich weg,
übrig bleibt „Stück“. Eine Menge in Stück ist genau das, was gesucht ist.
Rundung: Eine Absatzmenge ist eine ganze Zahl. Hier geht die Division glatt auf.
Ginge sie nicht auf, würde man aufrunden. Beispiel: Käme 31.999,4 heraus, wären
31.999 Schals zu wenig, dort gäbe es noch Verlust. Erst beim 32.000. Schal wäre der Gewinn
null oder größer. Halbe Schals kann man nicht verkaufen. Die Musterlösung schreibt
„32.000,00 Stück“; gemeint ist dasselbe.
Im Bild liegt der Schnittpunkt genau über 32.000.
UBEP=400.000,00 €
Jetzt kennen wir die Menge. Den Umsatz erhalten wir, indem wir sie in die Umsatzfunktion
aus Schritt 2 einsetzen:
12,50 Euro/Stu¨ck⋅32.000 Stu¨ck=400.000,00 €.
Im Bild: Vom Schnittpunkt waagerecht nach links abgelesen, liegt der Wert bei 400.000 €.
KBEP=160.000+240.000=400.000,00 €
Dieselbe Menge setzen wir in die Kostenfunktion aus Schritt 1 ein.
Variable Kosten: 7,50 Euro/Stu¨ck⋅32.000 Stu¨ck=240.000 €. Dazu
kommen die Fixkosten von 160.000 €. Zusammen sind das 400.000 €.
Stolperstelle: Die 7,50 € werden mit der
Menge multipliziert, nicht mit dem
Preis. In der Musterlösung steht an dieser Stelle
kvar⋅p+kfix. Das enthält
zwei Schreibfehler: Statt
p (Preis) muss dort
x (Menge) stehen, und mit
kfix sind
die Fixkosten
Kfix=160.000 € gemeint. Gerechnet wird in der Musterlösung
trotzdem richtig:
7,50⋅32.000+160.000.
Im Bild zeigt der dicke Balken auf der senkrechten Linie bei 32.000 Stück die Aufteilung:
unten 160.000 € fix, darüber 240.000 € variabel.
Drei Kontrollen, jede auf einem anderen Weg gerechnet:
-
Gewinn ist null: 400.000−400.000=0. Das verlangt der Break-Even-Point.
-
Fixkosten genau gedeckt: 32.000 Schals bringen je 5,00 € Stückdeckungsbeitrag: 5⋅32.000=160.000. Diese Summe heißt Gesamtdeckungsbeitrag. Sie ist genau
so groß wie die Fixkosten.
-
Durchschnittskosten gleich Preis: Wir verteilen alle Kosten auf alle Schals:
400.000:32.000=12,50 €. Das sind nicht die 7,50 € variable Kosten aus Schritt 1.
In den 12,50 € steckt zusätzlich der Anteil jedes Schals an den Fixkosten: 160.000:32.000=5,00 €. Zusammen 7,50+5,00=12,50 €, also genau der Preis.
Stimmen alle drei, ist das Ergebnis richtig.
jedes Stück über 32.000 bringt 5,00 € Gewinn
Was bedeutet die Zahl 32.000? Wir setzen zwei andere Mengen in die Gewinnfunktion G(x)=5x−160.000 aus Schritt 4 ein:
- Bei 20.000 Stück: 5⋅20.000−160.000=−60.000 €. Das ist Verlust.
- Bei 40.000 Stück: 5⋅40.000−160.000=+40.000 €. Das ist Gewinn.
Links vom Schnittpunkt liegt die Verlustzone, rechts die Gewinnzone. Jeder
Schal über 32.000 hinaus erhöht den Gewinn um 5,00 €.
32.000 Stück · 400.000 € · 400.000 €
Im Break-Even-Point verkauft Topfashion 32.000 Schals. Der Umsatz beträgt
400.000 €, die Gesamtkosten betragen ebenfalls 400.000 €. Es gibt weder Gewinn
noch Verlust.
Zusammengefasst:
- Umsatzfunktion U(x)=p⋅x selbst aufstellen.
- Stückdeckungsbeitrag db=p−kvar bilden.
- Menge: xBEP=Kfix:db.
- Menge in Umsatz- und Kostenfunktion einsetzen.
Rückblick: Die ganze Aufgabe hängt an einer Zahl, die nirgends im Text steht: dem
Stückdeckungsbeitrag von 5,00 €. Wer mit dem Preis von 12,50 € rechnet, landet bei falschen
12.800 Stück.