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BWL · Probeklausur · Aufgabe 29

Welche Torte die knappe Sahne verdient

Ein Konditor kann zwei Torten backen, hat aber nur begrenzt Mehl, Butter und Sahne. Gesucht ist die Zahl der Torten je Sorte, die den größten Gewinn bringt, und dieser Gewinn. Das Verfahren heißt lineare Programmierung. Der Weg: erst die Aufgabe in Formeln übersetzen, dann die Grenzen als Geraden zeichnen, dann die Ecken der erlaubten Fläche bestimmen und dort den Gewinn vergleichen. Das Ergebnis hier (30 Schwarzwälder, 0 Kränze, 1.440 €) weicht von der offiziellen Musterlösung ab. Schritt 18 zeigt mit einer Probe, warum deren Punkt nicht backbar ist. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit → geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Ein Konditor möchte 2 Torten anbieten. In den folgenden Tabellen finden Sie die notwendigen Informationen der beiden Torten.

Wie viele Schwarzwälder Torten und wie viele Frankfurter Kränze muss der Bäckermeister backen und verkaufen, um seinen Gewinn zu maximieren? Wie hoch ist der maximale Gewinn?

Bestimmen Sie die optimale Produktionsmenge, unter der Bedingung der Gewinnmaximierung, mit Hilfe der linearen Programmierung. Stellen Sie die Lösung grafisch dar! Gehen Sie davon aus, dass kein Abfall produziert wird.

Zutaten
Angaben in Kg		 Schwarzwälder Kirsch Torte
Zutaten je Torte in g 		Frankfurter Kranz
Zutaten je Torte in g 		Zutaten pro Periode in Kilogramm (g)
Mehl 30 40 1200
Butter 30 90 1800
Sahne 40 30 1200
Pro Stück in € Schwarzwälder Kirsch Torte Frankfurter Kranz
Verkaufspreis 100,00 € 90,00 €
Variable Kosten 52,00 € 58,00 €

Bitte tragen Sie die Lösung in das dafür vorgesehene Schema ein. (15 P)

Die Aufgabe in Formeln

Unbekannte, Ziel und Grenzen

Schritt 1 Die Unbekannten festlegen

Zeichen Bedeutung Einheit
xx Anzahl Schwarzwälder Kirschtorten je Periode Stück
yy Anzahl Frankfurter Kränze je Periode Stück
30, 40, 90 … Zutat je Torte Gramm
1.200, 1.800 Vorrat je Periode Gramm

Schritt 2 Der Deckungsbeitrag je Torte

Stückdeckungsbeitrag = Verkaufspreis minus variable Kosten je Stück
db=p−kvardb = p - k_{\text{var}}
dbx=100,00−52,00=48,00 Euro/Stu¨ckdby=090,00−58,00=32,00 Euro/Stu¨ck\begin{aligned} db_x &= 100{,}00 - 52{,}00 = 48{,}00 \ \text{Euro/Stück} \\ db_y &= \phantom{0}90{,}00 - 58{,}00 = 32{,}00 \ \text{Euro/Stück} \end{aligned}

Schritt 3 Die Zielfunktion

Gewinn GG = Deckungsbeitrag je Torte mal Anzahl, für beide Sorten zusammen
G=48 x+32 y  ⟶  max⁡G = 48\,x + 32\,y \;\longrightarrow\; \max
Probe mit einem Beispiel: 10 Schwarzwälder und 10 Kränze
G=48⋅10+32⋅10=480+320=800 EuroG = 48 \cdot 10 + 32 \cdot 10 = 480 + 320 = 800 \ \text{Euro}

Schritt 4 Keine negativen Mengen

Nichtnegativitätsbedingung
x≥0,y≥0x \geq 0, \qquad y \geq 0

Schritt 5 Die Restriktionen aufstellen

Allgemein: Verbrauch je Schwarzwälder mal xx plus Verbrauch je Kranz mal yy ≤ Vorrat
Mehl:30 x+40 y≤1.200Butter:30 x+90 y≤1.800Sahne:40 x+30 y≤1.200\begin{aligned} \text{Mehl:} &\quad 30\,x + 40\,y \leq 1.200 \\ \text{Butter:} &\quad 30\,x + 90\,y \leq 1.800 \\ \text{Sahne:} &\quad 40\,x + 30\,y \leq 1.200 \end{aligned}

Die Grenzen zeichnen

aus jeder Ungleichung eine Gerade

Schritt 6 Die Achsenschnittpunkte

Grenzfall „Vorrat genau aufgebraucht“: ≤ wird zu =, dann je eine Unbekannte null setzen
Mehl: y=0: 30 x=1.200⇒x=40x=0: 40 y=1.200⇒y=30\text{Mehl: } y = 0: \ 30\,x = 1.200 \Rightarrow x = 40 \qquad x = 0: \ 40\,y = 1.200 \Rightarrow y = 30
Restriktion x-Abschnitt (y=0y = 0) y-Abschnitt (x=0x = 0)
Mehl 1.200 : 30 = 40 1.200 : 40 = 30
Butter 1.800 : 30 = 60 1.800 : 90 = 20
Sahne 1.200 : 40 = 30 1.200 : 30 = 40

Schritt 7 Die Restriktionen nach y umstellen

Mehl
30 x+40 y≤1.200∣−30 x40 y≤1.200−30 x∣:40y≤1.20040−3040 xjeden Teil einzeln teileny≤30−0,75 x\begin{aligned} 30\,x + 40\,y &\leq 1.200 &&\mid -30\,x \\ 40\,y &\leq 1.200 - 30\,x &&\mid :40 \\ y &\leq \tfrac{1.200}{40} - \tfrac{30}{40}\,x &&\text{jeden Teil einzeln teilen} \\ y &\leq 30 - 0{,}75\,x \end{aligned}
Butter
30 x+90 y≤1.800∣−30 x90 y≤1.800−30 x∣:90y≤1.80090−3090 xjeden Teil einzeln teileny≤20−13 x≈20−0,33 x\begin{aligned} 30\,x + 90\,y &\leq 1.800 &&\mid -30\,x \\ 90\,y &\leq 1.800 - 30\,x &&\mid :90 \\ y &\leq \tfrac{1.800}{90} - \tfrac{30}{90}\,x &&\text{jeden Teil einzeln teilen} \\ y &\leq 20 - \tfrac{1}{3}\,x \approx 20 - 0{,}33\,x \end{aligned}
Sahne
40 x+30 y≤1.200∣−40 x30 y≤1.200−40 x∣:30y≤1.20030−4030 xjeden Teil einzeln teileny≤40−43 x≈40−1,33 x\begin{aligned} 40\,x + 30\,y &\leq 1.200 &&\mid -40\,x \\ 30\,y &\leq 1.200 - 40\,x &&\mid :30 \\ y &\leq \tfrac{1.200}{30} - \tfrac{40}{30}\,x &&\text{jeden Teil einzeln teilen} \\ y &\leq 40 - \tfrac{4}{3}\,x \approx 40 - 1{,}33\,x \end{aligned}

Schritt 8 Die erlaubte Seite jeder Geraden

Probe mit dem Nullpunkt (0 ∣ 0)(0\,|\,0): nichts backen verbraucht nichts
Mehl:30⋅0+40⋅0=0≤1.200 ✓Butter:30⋅0+90⋅0=0≤1.800 ✓Sahne:40⋅0+30⋅0=0≤1.200 ✓\begin{aligned} \text{Mehl:} &\quad 30 \cdot 0 + 40 \cdot 0 = 0 \leq 1.200 \ \checkmark \\ \text{Butter:} &\quad 30 \cdot 0 + 90 \cdot 0 = 0 \leq 1.800 \ \checkmark \\ \text{Sahne:} &\quad 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0 \leq 1.200 \ \checkmark \end{aligned}

Erlaubt ist bei allen drei Geraden die Seite zum Nullpunkt hin, also unterhalb der Geraden. Die Gerade selbst gehört dazu.

Schritt 9 Der zulässige Bereich

Bedingung erlaubt ist
x≥0x \geq 0 rechts von der y-Achse
y≥0y \geq 0 oberhalb der x-Achse
Mehl, Butter, Sahne unterhalb jeder der drei Geraden
alle zugleich die grüne Fläche: ein Viereck

Die Ecken finden

nur dort kann das Optimum liegen

Schritt 10 Warum das Optimum in einer Ecke liegt

Zielfunktion für einen festen Gewinn GG nach yy umstellen
48 x+32 y=G∣−48 x32 y=G−48 x∣:32y=G32−1,5 x\begin{aligned} 48\,x + 32\,y &= G &&\mid -48\,x \\ 32\,y &= G - 48\,x &&\mid :32 \\ y &= \frac{G}{32} - 1{,}5\,x \end{aligned}
Gewinn GG Gerade x-Abschnitt
480 € y=15−1,5 xy = 15 - 1{,}5\,x x=480:48=10x = 480 : 48 = 10
960 € y=30−1,5 xy = 30 - 1{,}5\,x x=960:48=20x = 960 : 48 = 20

Schritt 11 Schnittpunkt von Butter und Sahne

Beide Gleichungen vereinfachen
(I) Butter:30 x+90 y=1.800∣:30⇒x+3 y=60(II) Sahne:40 x+30 y=1.200∣:10⇒4 x+3 y=120\begin{aligned} \text{(I) Butter:} &\quad 30\,x + 90\,y = 1.800 &&\mid :30 &&\Rightarrow\quad x + 3\,y = 60 \\ \text{(II) Sahne:} &\quad 40\,x + 30\,y = 1.200 &&\mid :10 &&\Rightarrow\quad 4\,x + 3\,y = 120 \end{aligned}
(II) minus (I): die 3y3y fallen weg
(4 x+3 y)−(x+3 y)=120−603 x=60∣:3x=20\begin{aligned} (4\,x + 3\,y) - (x + 3\,y) &= 120 - 60 \\ 3\,x &= 60 &&\mid :3 \\ x &= 20 \end{aligned}
x=20x = 20 in (I) einsetzen
20+3 y=60∣−203 y=40∣:3y=403=13,3‾≈13,33\begin{aligned} 20 + 3\,y &= 60 &&\mid -20 \\ 3\,y &= 40 &&\mid :3 \\ y &= \tfrac{40}{3} = 13{,}\overline{3} \approx 13{,}33 \end{aligned}
Probe mit der dritten Zutat: Mehl
30⋅20+40⋅13,3‾=600+533,33=1.133,33≤1.200 ✓30 \cdot 20 + 40 \cdot 13{,}\overline{3} = 600 + 533{,}33 = 1.133{,}33 \leq 1.200 \ \checkmark

Schritt 12 Die anderen Schnittpunkte fallen heraus

Mehl und Butter: (Butter) minus (Mehl), die 30x30x fallen weg
(30 x+90 y)−(30 x+40 y)=1.800−1.20050 y=600∣:50y=12in Mehl einsetzen: 30 x+40⋅12=1.20030 x+480=1.200∣−48030 x=720∣:30x=24Probe Sahne: 40⋅24+30⋅12=960+360=1.320>1.200 ×\begin{aligned} (30\,x + 90\,y) - (30\,x + 40\,y) &= 1.800 - 1.200 \\ 50\,y &= 600 &&\mid :50 \\ y &= 12 \\ \text{in Mehl einsetzen: } 30\,x + 40 \cdot 12 &= 1.200 \\ 30\,x + 480 &= 1.200 &&\mid -480 \\ 30\,x &= 720 &&\mid :30 \\ x &= 24 \\ \text{Probe Sahne: } 40 \cdot 24 + 30 \cdot 12 &= 960 + 360 = 1.320 > 1.200 \ \times \end{aligned}
Mehl und Sahne: Mehl mal 4, Sahne mal 3, dann (Mehl) minus (Sahne), die 120x120x fallen weg
Mehl⋅4:120 x+160 y=4.800Sahne⋅3:120 x+090 y=3.600(120 x+160 y)−(120 x+90 y)=4.800−3.60070 y=1.200∣:70y=1.20070=1207≈17,14in Mehl einsetzen: 30 x+40⋅1207=1.20030 x+4.8007=1.200∣−4.800730 x=8.4007−4.8007=3.6007∣:30x=3.6007⋅30=1207≈17,14Probe Butter: 30⋅1207+90⋅1207=(30+90)⋅1207=14.4007≈2.057,14>1.800 ×\begin{aligned} \text{Mehl} \cdot 4:\quad 120\,x + 160\,y &= 4.800 \\ \text{Sahne} \cdot 3:\quad 120\,x + \phantom{0}90\,y &= 3.600 \\ (120\,x + 160\,y) - (120\,x + 90\,y) &= 4.800 - 3.600 \\ 70\,y &= 1.200 &&\mid :70 \\ y &= \tfrac{1.200}{70} = \tfrac{120}{7} \approx 17{,}14 \\ \text{in Mehl einsetzen: } 30\,x + 40 \cdot \tfrac{120}{7} &= 1.200 \\ 30\,x + \tfrac{4.800}{7} &= 1.200 &&\mid -\tfrac{4.800}{7} \\ 30\,x &= \tfrac{8.400}{7} - \tfrac{4.800}{7} = \tfrac{3.600}{7} &&\mid :30 \\ x &= \tfrac{3.600}{7 \cdot 30} = \tfrac{120}{7} \approx 17{,}14 \\ \text{Probe Butter: } 30 \cdot \tfrac{120}{7} + 90 \cdot \tfrac{120}{7} &= (30 + 90) \cdot \tfrac{120}{7} = \tfrac{14.400}{7} \\ &\approx 2.057{,}14 > 1.800 \ \times \end{aligned}
Geradenpaar Schnittpunkt verletzt Urteil
Mehl und Butter (24 | 12) Sahne um 120 g unzulässig
Mehl und Sahne (17,14 | 17,14) Butter um 257,14 g unzulässig
Butter und Sahne (20 | 13,33) nichts Ecke des Bereichs

Schritt 13 Mehl begrenzt nirgends

Mehlverbrauch in den Ecken, an denen am meisten gebacken wird
(20 ∣ 13,33):30⋅20+40⋅13,3‾=1.133,33 g(30 ∣ 0):30⋅30+40⋅0=900 g(0 ∣ 20):30⋅0+40⋅20=800 g\begin{aligned} (20\,|\,13{,}33):&\quad 30 \cdot 20 + 40 \cdot 13{,}\overline{3} = 1.133{,}33 \ \text{g} \\ (30\,|\,0):&\quad 30 \cdot 30 + 40 \cdot 0 = 900 \ \text{g} \\ (0\,|\,20):&\quad 30 \cdot 0 + 40 \cdot 20 = 800 \ \text{g} \end{aligned}

Alle Werte liegen unter 1.200 g. Mehl wird nie ganz verbraucht.

Schritt 14 Die vier Ecken

Ecke entsteht aus Begründung
(0 | 0) beide Achsen nichts backen
(0 | 20) y-Achse und Butter kleinster y-Abschnitt: 20 < 30 < 40
(20 | 13,33) Butter und Sahne Schritt 11
(30 | 0) x-Achse und Sahne kleinster x-Abschnitt: 30 < 40 < 60

Das Optimum bestimmen

den Gewinn an jeder Ecke vergleichen

Schritt 15 Die Eckpunktprobe

Jede Ecke in G=48 x+32 yG = 48\,x + 32\,y einsetzen
G(0 ∣ 0)=48⋅0+32⋅0=0,00 EuroG(0 ∣ 20)=48⋅0+32⋅20=640,00 EuroG(20 ∣ 13,3‾)=48⋅20+32⋅13,3‾=960+426,67=1.386,67 EuroG(30 ∣ 0)=48⋅30+32⋅0=1.440,00 Euro\begin{aligned} G(0\,|\,0) &= 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0 = 0{,}00 \ \text{Euro} \\ G(0\,|\,20) &= 48 \cdot 0 + 32 \cdot 20 = 640{,}00 \ \text{Euro} \\ G(20\,|\,13{,}\overline{3}) &= 48 \cdot 20 + 32 \cdot 13{,}\overline{3} = 960 + 426{,}67 = 1.386{,}67 \ \text{Euro} \\ G(30\,|\,0) &= 48 \cdot 30 + 32 \cdot 0 = 1.440{,}00 \ \text{Euro} \end{aligned}
Ecke 48x48x 32y32y GG
(0 | 0) 0,00 0,00 0,00 €
(0 | 20) 0,00 640,00 640,00 €
(20 | 13,33) 960,00 426,67 1.386,67 €
(30 | 0) 1.440,00 0,00 1.440,00 €

Schritt 16 Gegenprobe mit der Isogewinngeraden

Gerade nach yy umgestellt Steigung
Isogewinngerade y=G32−1,5 xy = \frac{G}{32} - 1{,}5\,x −1,50
Sahne y=40−1,33 xy = 40 - 1{,}33\,x −1,33
Mehl y=30−0,75 xy = 30 - 0{,}75\,x −0,75
Butter y=20−0,33 xy = 20 - 0{,}33\,x −0,33
Die äußerste Isogewinngerade, die den Bereich noch berührt, geht durch (30 ∣ 0)(30\,|\,0)
y=1.44032−1,5 x=45−1,5 xy = \frac{1.440}{32} - 1{,}5\,x = 45 - 1{,}5\,x

Schritt 17 Probe: Zutatenverbrauch im Optimum

Zutat Verbrauch bei (30 ∣ 0)(30\,|\,0) Vorrat Rest
Mehl 30 · 30 + 40 · 0 = 900 g 1.200 g 300 g
Butter 30 · 30 + 90 · 0 = 900 g 1.800 g 900 g
Sahne 40 · 30 + 30 · 0 = 1.200 g 1.200 g 0 g
Deckungsbeitrag je Gramm Sahne: dbdb geteilt durch Sahne je Torte
Schwarzwa¨lder: 48,0040=1,20 Euro/gKranz: 32,0030≈1,07 Euro/g\text{Schwarzwälder: } \frac{48{,}00}{40} = 1{,}20 \ \text{Euro/g} \qquad \text{Kranz: } \frac{32{,}00}{30} \approx 1{,}07 \ \text{Euro/g}

Schritt 18 Abgleich mit der Musterlösung

Die Musterlösung nennt 20 Schwarzwälder und 14 Kränze mit 48⋅20+32⋅14=960+448=1.408,0048 \cdot 20 + 32 \cdot 14 = 960 + 448 = 1.408{,}00 €. Die Probe:

Probe für (20 | 14) Verbrauch Vorrat Befund
Mehl: 30 · 20 + 40 · 14 1.160 g 1.200 g erfüllt
Butter: 30 · 20 + 90 · 14 1.860 g 1.800 g verletzt, 60 g zu viel
Sahne: 40 · 20 + 30 · 14 1.220 g 1.200 g verletzt, 20 g zu viel
Ganzzahlige Punkte nahe der Ecke (20 ∣ 13,33)(20\,|\,13{,}33): zulässig, aber schlechter als (30 ∣ 0)(30\,|\,0)
G(20 ∣ 13)=48⋅20+32⋅13=960+416=1.376,00 EuroG(21 ∣ 12)=48⋅21+32⋅12=1.008+384=1.392,00 EuroG(30 ∣ 0)=1.440,00 Euro\begin{aligned} G(20\,|\,13) &= 48 \cdot 20 + 32 \cdot 13 = 960 + 416 = 1.376{,}00 \ \text{Euro} \\ G(21\,|\,12) &= 48 \cdot 21 + 32 \cdot 12 = 1.008 + 384 = 1.392{,}00 \ \text{Euro} \\ G(30\,|\,0) &= 1.440{,}00 \ \text{Euro} \end{aligned}

Schritt 19 Ergebnis

✓Der Konditor backt je Periode 30 Schwarzwälder Kirschtorten und 0 Frankfurter Kränze.
✓Der maximale Gewinn (hier: Gesamtdeckungsbeitrag) beträgt 1.440,00 €.
✓Sahne ist ganz verbraucht; 300 g Mehl und 900 g Butter bleiben übrig.
✓Grafische Lösung: das Diagramm oben mit zulässigem Bereich und Isogewinngerade durch (30 | 0).
Schema der Klausur Gleichung x-Abschnitt y-Abschnitt
1) Zielfunktion Gmax⁡=48 x+32 yG_{\max} = 48\,x + 32\,y – –
2) Nichtnegativitätsbedingung x; y≥0x;\ y \geq 0 – –
3) Restriktion Mehl 30 x+40 y≤1.20030\,x + 40\,y \leq 1.200 40 30
4) Restriktion Butter 30 x+90 y≤1.80030\,x + 90\,y \leq 1.800 60 20
5) Restriktion Sahne 40 x+30 y≤1.20040\,x + 30\,y \leq 1.200 30 40

Nur eine Sorte zu backen ist hier kein Rechenfehler. Die Schwarzwälder bringt je Gramm Sahne mehr Deckungsbeitrag als der Kranz. Sahne ist die knappe Zutat. Also lohnt es sich, die ganze Sahne in Schwarzwälder zu stecken.