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ESTO · Übungsblatt 2 · Aufgabe 1

Ziehen ohne Zurücklegen, Schritt für Schritt

Aus 20 Bauteilen werden fünf gezogen, ohne Zurücklegen. Alle drei Fragen lösen wir mit derselben Idee: günstige Auswahlen zählen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Eine Lieferung enthält 20 Bauteile, wovon vier defekt sind. Für die Qualitätskontrolle werden zufällig fünf Bauteile ohne Zurücklegen entnommen.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der fünf entnommenen Bauteile defekt sind?
  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein defektes Bauteil zu entnehmen?
  3. Wie viele Bauteile müsste man mindestens entnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein defektes Bauteil zu finden, über 90 % liegt?

Ergebnisraum

Wie viele Entnahmen sind überhaupt möglich?

Schritt 1 Der Ergebnisraum

Anzahl aller möglichen Ergebnisse
∣Ω∣  =  (205)  =  15 504|\Omega| \;=\; \binom{20}{5} \;=\; 15\,504

(i) Genau zwei defekte Bauteile

Laplace: günstige durch mögliche

Schritt 2 Das Ereignis festlegen

Ereignis
A={ genau 2 von 5 defekt }A = \{\,\text{genau 2 von 5 defekt}\,\}

Schritt 3 Zwei defekte aus vier wählen

Zwei defekte aus vier wählen
(42)=6\binom{4}{2} = 6

Schritt 4 Drei intakte aus sechzehn wählen

Die übrigen drei aus den intakten wählen
(163)=560\binom{16}{3} = 560

Schritt 5 Günstige Fälle und Ergebnis

Laplace-Wahrscheinlichkeit
P(A)=(42)⋅(163)(205)=3 36015 504=0,2167P(A) = \frac{\binom{4}{2}\cdot\binom{16}{3}}{\binom{20}{5}} = \frac{3\,360}{15\,504} = 0{,}2167

(ii) Mindestens ein defektes Bauteil

über das Gegenereignis

Schritt 6 Warum das Gegenereignis

Ereignis und Gegenereignis
B={ min. ein Defektes },Bc={ kein Defektes }B = \{\,\text{min. ein Defektes}\,\}, \qquad B^{c} = \{\,\text{kein Defektes}\,\}

Schritt 7 Kein defektes Bauteil

Alle fünf aus den intakten wählen
P(Bc)=(165)(205)=4 36815 504=0,2817P(B^{c}) = \frac{\binom{16}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{4\,368}{15\,504} = 0{,}2817

Schritt 8 Zurück zum eigentlichen Ereignis

Gegenwahrscheinlichkeit
P(B)=1−P(Bc)=1−0,2817=0,7183P(B) = 1 - P(B^{c}) = 1 - 0{,}2817 = 0{,}7183

(iii) Wie viele Bauteile müssen es sein?

kleinstes kk mit P(D(k))>0,90P(D(k)) > 0{,}90

Schritt 9 Dieselbe Rechnung, jetzt mit k

Dasselbe Argument, jetzt für kk Entnahmen
P(D(k))=1−(16k)(20k)P(D(k)) = 1 - \frac{\binom{16}{k}}{\binom{20}{k}}

Schritt 10 Werte für wachsendes k

kk (16k)\binom{16}{k} (20k)\binom{20}{k} P(D(k))P(D(k)) Verlauf
1 16 20 0,2000
90 %
2 120 190 0,3684
3 560 1.140 0,5088
4 1.820 4.845 0,6244
5 4.368 15.504 0,7183
6 8.008 38.760 0,7934
7 11.440 77.520 0,8524
8 12.870 125.970 0,8978
9 11.440 167.960 0,9319

Schritt 11 Die Schwelle fällt zwischen 8 und 9

Bei 8 Bauteilen knapp darunter, bei 9 zum ersten Mal über 90 %
P(D(8))=0,8978<0,90P(D(9))=0,9319>0,90P(D(8)) = 0{,}8978 < 0{,}90 \qquad\qquad P(D(9)) = 0{,}9319 > 0{,}90

Es müssen also mindestens 9 Bauteile entnommen werden.

Schritt 12 Ergebnis

✓(i) Genau zwei defekt: 0,2167
✓(ii) Mindestens eines defekt: 0,7183
✓(iii) Ab k = 9 Entnahmen liegt die Wahrscheinlichkeit über 90 % (0,9319)

Bei k=8k = 8 sind es erst 0,8978 — die Schwelle wird also genau zwischen acht und neun entnommenen Bauteilen überschritten.