Übungsblatt 1

8 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Ergebnisraum und Ereignisse

Vom Würfelwurf zur Menge: alle möglichen Ergebnisse eines 4-seitigen Würfels aufschreiben und zwei Ereignisse daraus bilden.

Aufgabe 2fertig

Zwei Münzen gleichzeitig

Zwei Münzen werfen: warum „Kopf, Zahl“ und „Zahl, Kopf“ zwei verschiedene Ergebnisse sind und wie man alle möglichen Ergebnisse aufschreibt.

Aufgabe 3fertig

Mengenoperationen am Venn-Diagramm

Aus zwei Mengen neue Mengen bilden: vereinigen, schneiden, abziehen, ergänzen – alles in einem Bild abgelesen.

Aufgabe 4fertig

Beweisen mit Venn-Diagrammen

Die de Morgan’schen Regeln und die Summenregel als Flächenvergleich.

Aufgabe 5fertig

Ist das eine Wahrscheinlichkeitsfunktion?

Drei Vorschläge für Wahrscheinlichkeiten gegen die Definition geprüft: Die Summe 1 allein reicht nicht, kein Wert darf negativ sein.

Aufgabe 6fertig

Rechenregeln am Würfel

Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln mit drei Regeln berechnen: Additivitätsregel für „oder“, Durchschnitt und Zerlegungsregel für „und“, Komplementsatz für „kein“.

Aufgabe 7fertig

Blutgruppen als Laplace-Raum

123 Personen, vier Blutgruppen: Modell aufstellen und drei Regeln anwenden.

Aufgabe 8fertig

Käufe im Online-Shop

0 bis 10 Käufe am Tag, alle gleich wahrscheinlich: Modell aufstellen und an zwei Stellen richtig abzählen.

Übungsblatt 2

6 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Ziehen ohne Zurücklegen

Laplace, Kombinationen und das Gegenereignis an einer Qualitätskontrolle.

Aufgabe 2fertig

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Würfel, drei Ereignisse: wann die Produktgleichung aufgeht und wann nicht.

Aufgabe 3fertig

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Vier Kinder, das älteste ein Junge: wie eine Bedingung den Ergebnisraum halbiert.

Aufgabe 4fertig

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Drei Lieferquellen mit eigenen Ausschussquoten zu einer Gesamtquote zusammenführen.

Aufgabe 5fertig

Tombola: Urnenmodell und Bedingung

50 Lose, zwei Ziehungen: warum die Reihenfolge beim Ziehen keinen Vorteil bringt.

Aufgabe 6fertig

Satz von Bayes

Von „15 % der Frauen“ zu „82 % der Betroffenen sind Frauen“ — und warum das kein Widerspruch ist.

Übungsblatt 3

7 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Von den Einzelwahrscheinlichkeiten zur Verteilungsfunktion

Eine unfaire Münze, dreimal geworfen: von den Einzelwahrscheinlichkeiten über die Treppenfunktion zu vier abgelesenen Werten.

Aufgabe 2fertig

Das Maximum von zwei Würfeln

Zwei Würfel, gezählt wird die größere Augenzahl: „Maximum höchstens k“ heißt „beide Würfel höchstens k“ — im Gitter ein Quadrat.

Aufgabe 3fertig

Die Tombola: diskrete Gleichverteilung

50 Lose, eine Ziehung: die Verteilungsfunktion aufstellen — und warum „mindestens 35“ den Wert bei 34 braucht.

Aufgabe 4fertig

Binomialverteilung: genau, mindestens, mehr als

12 Personen, 20 % tragen eine Erbanlage: „genau zwei“, „mindestens zwei“ und „mehr als zwei“ an derselben Verteilung.

Aufgabe 5fertig

Poissonverteilung: den Parameter aus einer Wahrscheinlichkeit gewinnen

An 90,5 % der Tage fällt nichts aus — mehr ist nicht gegeben. Über den Fall „null Ausfälle“ und einen Logarithmus kommt man an den Parameter λ.

Aufgabe 6fertig

Poisson statt Binomial: wann die Näherung reicht

50.000 Versicherte mit je 0,01 % Schadensrisiko: warum die Poissonverteilung mit λ = 5 die Rechnung mit einer 22-stelligen Zahl ersetzen darf.

Aufgabe 7fertig

Zwei Verteilungen hintereinander

Drei Fehler pro Monat im Mittel: wie wahrscheinlich sind mindestens drei fehlerfreie Monate im Jahr? Zwei Verteilungen nacheinander.

Übungsblatt 4

5 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Normalverteilung: die σ-Regeln

Körpergröße mit Mittelwert 175 cm und Streuung 8 cm: Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter der Glockenkurve, abgelesen mit den σ-Regeln 68,2 %, 95,4 % und 99,6 %.

Aufgabe 2fertig

Exponentialverteilung: ein Punkt, links davon, dazwischen

Eine zufällige Wartezeit mit λ = 3,5: warum ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit 0 hat — und wie man „höchstens 3,5“ und „zwischen 2 und 3“ als Fläche unter einer Kurve ausrechnet.

Aufgabe 3fertig

Standardnormalverteilung mit R

Fünf Wahrscheinlichkeiten zur Glockenkurve der Standardnormalverteilung (Mitte 0, Breite 1): links, rechts, zwischen zwei Grenzen, nach einer Umformung und beim Abstand von 0. Jede wird auf die Fläche links zurückgeführt, die R ausrechnet.

Aufgabe 4fertig

Erwartungswert und Varianz: die Rechenregeln

Wo liegt eine Zufallsvariable im Mittel, und wie stark streut sie? Erwartungswert und Varianz nach Definition und mit den Rechenregeln — und welche Regel nur bei Unabhängigkeit gilt.

Aufgabe 5fertig

Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung

Kaffeepackungen mit normalverteilter Füllmenge: Unter welcher Grenze liegt 1 % der Packungen, über welcher 1 % — und wie wahrscheinlich enthalten zwei Packungen beide mindestens 495 g?

Übungsblatt 5

4 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Histogramm: Wartezeiten an der Bushaltestelle

Aus 20 gemessenen Wartezeiten wird Schritt für Schritt ein Histogramm: Klassen festlegen, Werte zählen, Balkenhöhe und -fläche berechnen — und in R mit drei verschiedenen Klassenbreiten vergleichen.

Aufgabe 2fertig

Mittelwert und Median: ein Ausreißer bei den Ausgaben

Acht Studierende nennen ihre monatlichen Ausgaben, eine Person davon 1.200 Euro. Wie stark zieht dieser eine Wert den Mittelwert nach oben, wie wenig den Median — und ist er nach der IQR-Regel (einer Faustregel mit dem Interquartilsabstand) ein Ausreißer?

Aufgabe 3fertig

Stichprobenvarianz: die Länge der Fische

Fünf Fische aus einem Teich wurden gemessen. Wie stark streuen ihre Längen um den Mittelwert? Abweichungen bilden, quadrieren, addieren und durch die Anzahl minus 1 teilen. Dann mit einer Normalverteilung schätzen, wie wahrscheinlich ein Fisch höchstens 25 cm lang ist.

Aufgabe 4fertig

Boxplot: Reaktionszeiten mit Ausreißer

Zwölf Reaktionszeiten, eine davon fast eine Sekunde: den Boxplot Teil für Teil verstehen, den Ausreißer mit einer festen Regel (IQR-Regel) bestätigen und entfernen und am neuen Boxplot die Form der Verteilung ablesen.

Übungsblatt 6

6 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Konfidenzintervall bei bekannter Varianz

Aus 100 Messungen mit dem Mittelwert 53,97 wird ein Bereich für den wahren Mittelwert bestimmt: das 95-%-Konfidenzintervall. Das Verfahren dahinter trifft den wahren Wert bei 95 % aller Stichproben. Außerdem: Wie viele Messungen braucht man, damit dieser Bereich höchstens 0,4 lang ist, bei 95 % und bei 99 %?

Aufgabe 2fertig

Konfidenzintervall mit geschätzter Varianz: Kaffeepackungen

Zwölf Kaffeepackungen wurden gewogen, die Streuung der Füllmenge ist unbekannt. Aus Mittelwert und Standardabweichung entsteht ein Bereich für den mittleren Inhalt aller Packungen — mit dem Faktor 2,201 aus der t-Verteilung statt 1,96, weil die Streuung selbst nur geschätzt ist.

Aufgabe 3fertig

Ein Ausreißer im Konfidenzintervall: Mehlpackungen

Zehn Mehlpackungen sollen je 500 g enthalten, eine wiegt 528 g. Aus den Gewichten entsteht ein 95-%-Bereich für das mittlere Füllgewicht der Maschine. Ohne die 528 g rückt er nach unten und wird viel schmaler. Und weil 500 g darin liegt, lässt sich eine Abweichung vom Sollwert nicht nachweisen.

Aufgabe 4fertig

Gauß-Test: sind die Dachbalken zu kurz?

Dachbalken sollen 750 cm lang sein, 40 gemessene Balken sind im Mittel 749 cm lang. Ist das Zufall, oder sind die Balken wirklich zu kurz? Ein statistischer Test, Schritt für Schritt durchgerechnet: Hypothesen aufstellen, die Teststatistik ausrechnen und mit einer Grenze vergleichen.

Aufgabe 5fertig

t-Test: ist der Mittelwert von 0 verschieden?

Fünf Messwerte mit Mittelwert 0,336: Reicht das, um zu zeigen, dass ihr Erwartungswert nicht 0 ist? Ein zweiseitiger t-Test sagt nein. Mit einer passenden sechsten Messung klappt es — aber nur, wenn sie weder zu klein noch zu groß ist.

Aufgabe 6fertig

Einseitig oder zweiseitig: die Dicke der Marmorplatten

Fünf Marmorplatten nach einem Umbau: Ist die mittlere Dicke nicht mehr 12 mm? Mit denselben Messwerten lautet die Antwort auf „geändert?“ nein, auf „kleiner geworden?“ ja — der Lösungsweg zeigt, warum.

Übungsblatt 7

6 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?

Fünf Männer, Haare gezählt vor und nach einem Monat mit einem Haarwuchsmittel. Ist der Zuwachs echt oder nur Zufall? Hier wird das Testen von Grund auf erklärt: Hypothesen, Signifikanzniveau, Teststatistik, t-Verteilung, kritischer Wert und p-Wert.

Aufgabe 2fertig

Zweistichproben-t-Test: brennt behandeltes Papier länger?

Fünf behandelte und fünf unbehandelte Papierstreifen werden angezündet. Brennen die behandelten im Mittel so deutlich länger, dass Zufall als Erklärung kaum reicht?

Aufgabe 3fertig

Wilcoxon-Test: welche Zeitschrift wird öfter zitiert?

Sechs Artikel aus Zeitschrift A, sechs aus B: Werden Artikel aus A häufiger zitiert? Ein Ausreißer verbietet den t-Test. Deshalb werden die Werte durch ihre Ränge ersetzt, die Rangsumme ergibt die Teststatistik W, und der p-Wert entsteht durch Abzählen aller 924 möglichen Aufteilungen.

Aufgabe 4fertig

Binomialtest: arbeitet der neue Arzt besser?

Ein neuer Arzt entfernt 40 von 50 Tumoren erfolgreich, üblich sind 70 %. Reicht das als Beweis, dass er besser ist? Der Binomialtest beantwortet das mit dem p-Wert: Wie wahrscheinlich wären 40 oder mehr Erfolge, wenn er nur so gut wäre wie die anderen?

Aufgabe 5fertig

Chi-Quadrat-Anpassungstest: stimmt die Planung der Mensa?

Der Mensachef plant mit 20 % Rinderbraten, 50 % Schnitzel und 30 % Salat; ausgegeben wurden 910, 2.570 und 1.520 Essen. Ein Test prüft, ob diese Abweichungen noch Zufall sind oder ob die Planung nicht stimmt.

Aufgabe 6fertig

Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Trinkgewohnheit und Familienstand

963 Männer wurden nach Familienstand und Alkoholkonsum befragt: Hängen die beiden Merkmale zusammen, oder sind die Unterschiede Zufall? Dazu die Frage, wie wahrscheinlich ein verheirateter Mann nicht täglich trinkt.

Übungsblatt 8

5 Aufgaben

Aufgabe 1fertig

Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz

Sechs Monate Werbeausgaben und Umsatz: Steigen beide gemeinsam, und wie eng? Schritt für Schritt von Hand berechnet: die Kovarianz, die die Richtung zeigt, und die Korrelation, die Richtung und Stärke auf einer Skala von −1 bis 1 zeigt. Dazu die Deutung und eine Probe in R.

Aufgabe 2fertig

Korrelationstest: Gewicht und Stärke von Kartoffeln

Fünf Kartoffeln: Je schwerer die Knolle für ihre Größe, desto mehr Stärke enthält sie. Die Korrelation wird von Hand ausgerechnet, dann prüft ein Test, ob der Zusammenhang nachweisbar oder nur Zufall ist, und warum man dabei nicht zu früh runden darf.

Aufgabe 3fertig

Lineare Regression: Sauerstoff in warmem Wasser

Je wärmer das Wasser, desto weniger Sauerstoff löst sich darin. Aus zwölf Messungen wird eine Gerade berechnet, von Hand und mit R, ihre Güte mit dem Bestimmtheitsmaß R² bewertet, die Löslichkeit bei 55 °C vorhergesagt und die Gerade mit einer Parabel verglichen.

Aufgabe 4fertig

Korrelation ist keine Kausalität

In Monaten, in denen viel Eis verkauft wird, gibt es viele Badeunfälle – trotzdem macht Eis keine Unfälle. An drei Beispielen wird erklärt, warum zwei Größen gemeinsam steigen können, ohne dass die eine die andere verursacht, und welche dritte Größe jeweils dahintersteckt.

Aufgabe 5fertig

Unkorreliert, aber abhängig: Y = X²

X ist −1, 0 oder 1, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3, und Y ist das Quadrat von X. Obwohl Y ganz von X abhängt, ist die Korrelation 0. Hier wird von Hand gerechnet, warum das so ist, warum unkorreliert nicht unabhängig heißt und wie sich die Varianz von X + Y ergibt.