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ESTO · Übungsblatt 3 · Aufgabe 4

Binomialverteilung: genau, mindestens, mehr als

12 Personen werden ausgewählt, 20 % der Bevölkerung tragen eine bestimmte Erbanlage. Dieselbe Verteilung beantwortet drei ähnlich klingende Fragen — und die Unterschiede zwischen „genau zwei“, „mindestens zwei“ und „mehr als zwei“ sind der eigentliche Inhalt der Aufgabe. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

In einer Bevölkerungsgruppe haben 20 % eine bestimmte Erbanlage EE. Aus der Bevölkerung werden 12 Personen zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass …

  1. … genau zwei Personen die Erbanlage EE tragen?
  2. … mindestens zwei Personen die Erbanlage EE tragen?
  3. … mehr als zwei Personen die Erbanlage EE tragen?
  4. Vergleichen Sie die Ergebnisse aus (ii) und (iii). Wodurch entsteht der Unterschied?
Hinweis zur Musterlösung: Sie gibt als R-Ausgaben 0,28347390{,}2834739, 0,72508560{,}7250856 und 0,44166360{,}4416636 an. Nachgerechnet sind es 0,28346780{,}2834678, 0,72512210{,}7251221 und 0,44165430{,}4416543 — die Probe dazu steht in Schritt 12. Auf die vier Stellen, in denen ein solches Ergebnis angegeben wird, stimmen beide Fassungen überein.

Das Modell aufstellen

vom Einzelversuch zur Binomialverteilung

Schritt 1 Eine Person: das Bernoulli-Experiment

Zwei Ausgänge, nur eine Zahl als Parameter
P(E)=p=0,2,P(Ec)=1−p=0,8P(E) = p = 0{,}2, \qquad P(E^{c}) = 1 - p = 0{,}8

Schritt 2 Zwölf Personen: die Binomialverteilung

XX zählt, wie viele der 12 Personen die Erbanlage tragen
X∼B(n; p)=B(12; 0,2),Ω′={0,1,…,12}X \sim B(n;\,p) = B(12;\,0{,}2), \qquad \Omega' = \{0,1,\dots,12\}

Schritt 3 Die Binomialformel

Die Formel, mit der alle drei Teilaufgaben gerechnet werden
P(X=k)=(nk) p k (1−p) n−k=(12k) 0,2 k 0,8 12−kP(X = k) = \binom{n}{k} \, p^{\,k} \, (1-p)^{\,n-k} = \binom{12}{k} \, 0{,}2^{\,k} \, 0{,}8^{\,12-k}
Die drei Bausteine
(12k)⏟wie viele Auswahlen⋅0,2 k⏟k Tra¨ger⋅0,8 12−k⏟12−k Nichttra¨ger\underbrace{\binom{12}{k}}_{\text{wie viele Auswahlen}} \cdot \underbrace{0{,}2^{\,k}}_{k \text{ Träger}} \cdot \underbrace{0{,}8^{\,12-k}}_{12-k \text{ Nichtträger}}

(i) Genau zwei Träger

eine einzige Säule

Schritt 4 Die drei Bausteine für k=2k = 2

n!n! („nn Fakultät“) ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis nn
12!=1⋅2⋅3⋅…⋅12,2!=1⋅2=212! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 12, \qquad 2! = 1 \cdot 2 = 2
Wie viele der 12 Personen können die beiden Träger sein?
(122)=12!2! 10!=12⋅11⋅10⋅9⋅…⋅1⏞= 10!(2⋅1)⋅10⋅9⋅…⋅1⏟= 10!=12⋅112⋅1=1322=66\binom{12}{2} = \frac{12!}{2!\,10!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot \overbrace{10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot 1}^{= \,10!}} {(2 \cdot 1) \cdot \underbrace{10 \cdot 9 \cdot \ldots \cdot 1}_{= \,10!}} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = 66
Die beiden Potenzen
0,22=0,04,0,810=0,10737418240{,}2^{2} = 0{,}04, \qquad 0{,}8^{10} = 0{,}1073741824

Schritt 5 P(X=2)P(X = 2) ausrechnen

Alles einsetzen
P(X=2)=66⋅0,04⋅0,1073741824P(X = 2) = 66 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}1073741824
Zwei Faktoren zuerst
66⋅0,04=2,64⟹2,64⋅0,1073741824=0,28346784153666 \cdot 0{,}04 = 2{,}64 \qquad\Longrightarrow\qquad 2{,}64 \cdot 0{,}1073741824 = 0{,}283467841536
Auf vier Stellen gerundet
P(X=2)≈0,2835P(X = 2) \approx 0{,}2835

(ii) Mindestens zwei Träger

elf Säulen — oder zwei, über das Gegenereignis

Schritt 6 „Mindestens zwei“ übersetzen

Gemeint sind elf Werte — das Gegenereignis hat nur zwei
{X≥2}={2,3,…,12},{X≥2}c={X≤1}={0,1}\{X \ge 2\} = \{2,3,\dots,12\}, \qquad \{X \ge 2\}^{c} = \{X \le 1\} = \{0,1\}
Komplementsatz
P(X≥2)=1−P(X≤1)=1−[P(X=0)+P(X=1)]P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \big[P(X=0) + P(X=1)\big]

Schritt 7 Die beiden Gegenfälle berechnen

k=0k = 0: keine Person trägt die Anlage, (120)=1\binom{12}{0} = 1
P(X=0)=1⋅1⋅0,812=0,068719476736≈0,0687195P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}8^{12} = 0{,}068719476736 \approx 0{,}0687195
k=1k = 1: genau eine von zwölf, (121)=12\binom{12}{1} = 12
P(X=1)=12⋅0,2⋅0,811=2,4⋅0,08589934592=0,206158430208≈0,2061584P(X = 1) = 12 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{11} = 2{,}4 \cdot 0{,}08589934592 = 0{,}206158430208 \approx 0{,}2061584
Summe der beiden
P(X≤1)=0,0687195+0,2061584=0,2748779P(X \le 1) = 0{,}0687195 + 0{,}2061584 = 0{,}2748779

Schritt 8 P(X≥2)P(X \ge 2) ausrechnen

Komplementsatz anwenden
P(X≥2)=1−0,2748779=0,7251221≈0,7251P(X \ge 2) = 1 - 0{,}2748779 = 0{,}7251221 \approx 0{,}7251

(iii) Mehr als zwei Träger

ein Wert weniger als bei (ii)

Schritt 9 „Mehr als zwei“ übersetzen

Jetzt gehört die 2 zum Gegenereignis
{X>2}={3,4,…,12},{X>2}c={X≤2}={0,1,2}\{X > 2\} = \{3,4,\dots,12\}, \qquad \{X > 2\}^{c} = \{X \le 2\} = \{0,1,2\}
Komplementsatz
P(X>2)=1−P(X≤2)=1−[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]P(X > 2) = 1 - P(X \le 2) = 1 - \big[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\big]

Schritt 10 P(X>2)P(X > 2) ausrechnen

Die drei Werte stehen schon da — P(X=2)P(X=2) aus Schritt 5
P(X≤2)=0,2748779+0,2834678=0,5583457P(X \le 2) = 0{,}2748779 + 0{,}2834678 = 0{,}5583457
Komplementsatz
P(X>2)=1−0,5583457=0,4416543≈0,4417P(X > 2) = 1 - 0{,}5583457 = 0{,}4416543 \approx 0{,}4417

(iv) Woher der Unterschied kommt

genau eine Säule

Schritt 11 Die Differenz ist P(X=2)P(X = 2)

Die beiden Ergebnisse voneinander abziehen
P(X≥2)−P(X>2)=0,7251221−0,4416543=0,2834678P(X \ge 2) - P(X > 2) = 0{,}7251221 - 0{,}4416543 = 0{,}2834678
Das ist genau der Wert aus Teil (i)
P(X≥2)−P(X>2)=P(X=2)≈0,2835P(X \ge 2) - P(X > 2) = P(X = 2) \approx 0{,}2835
Formulierung in Zeichen enthält k=2k=2? Wert
genau zwei X=2X = 2 nur k=2k=2 0,2835
mindestens zwei X≥2X \ge 2 ja 0,7251
mehr als zwei X>2X > 2 nein 0,4417

Schritt 12 Ergänzung: dieselbe Rechnung in R

Ergänzung — das Ergebnis steht schon in den Schritten davor. Hier dieselben drei Zahlen mit den R-Befehlen, die die Musterlösung verwendet. dbinom gibt eine Einzelwahrscheinlichkeit P(X=k)P(X=k), pbinom die aufsummierte P(X≤k)P(X \le k), also die Verteilungsfunktion. 

(i)   dbinom(2, size = 12, prob = 0.2)
      #[1] 0.2834678
(ii)  1 - pbinom(1, size = 12, prob = 0.2)
      #[1] 0.7251221
(iii) 1 - pbinom(2, size = 12, prob = 0.2)
      #[1] 0.4416543

Schritt 13 Ergebnis

✓(i) P(X=2)=0,2835P(X = 2) = \mathbf{0{,}2835} — in rund 28 % der Stichproben sind es genau zwei Träger
✓(ii) P(X≥2)=0,7251P(X \ge 2) = \mathbf{0{,}7251} — in rund 73 % sind es zwei oder mehr
✓(iii) P(X>2)=0,4417P(X > 2) = \mathbf{0{,}4417} — in rund 44 % sind es drei oder mehr
✓(iv) Die Differenz ist genau P(X=2)=0,2835P(X=2) = 0{,}2835 — mit ≈28\approx 28 % nicht vernachlässigbar

Plausibilität: Im Mittel sind unter 12 Personen 12⋅0,2=2,412 \cdot 0{,}2 = 2{,}4 Träger zu erwarten. Deshalb liegt die höchste Säule bei k=2k = 2, und P(X≥2)=0,7251P(X \ge 2) = 0{,}7251 ist deutlich größer als die Hälfte. Dass P(X>2)=0,4417P(X > 2) = 0{,}4417 knapp unter der Hälfte liegt, passt zum Erwartungswert 2,4: drei oder mehr Träger sind etwas seltener als zwei oder weniger — 0,44170{,}4417 gegen 0,55830{,}5583.

Typische Fehler: Bei „mindestens kk“ und „mehr als kk“ dieselbe Grenze benutzen. Als Faustregel: Bei „mindestens kk“ wird P(X≤k−1)P(X \le k-1) abgezogen, bei „mehr als kk“ dagegen P(X≤k)P(X \le k). In R heißt das 1 - pbinom(k-1, …) gegen 1 - pbinom(k, …). Der zweite häufige Fehler: elf Säulen einzeln addieren statt das Gegenereignis mit zwei Säulen zu nehmen — richtig, aber viel mehr Arbeit.