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ESTO · Übungsblatt 4 · Aufgabe 5

Quantile: die Füllmenge einer Kaffeepackung

Kaffeepackungen sollen 500 g enthalten, die echten Füllmengen schwanken normalverteilt. Bisher war eine Grenze gegeben und die Wahrscheinlichkeit gesucht. Hier ist es in (i) und (ii) umgekehrt: Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben (1 %), gesucht ist die Grenze. Diese Grenze heißt Quantil. Teil (iii) verbindet eine Wahrscheinlichkeit mit zwei unabhängigen Packungen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

Die Füllung in einer Packung Kaffee soll in etwa 500 g betragen. Ausführliche Messungen haben ergeben, dass die Füllmengen N(500,12)N(500, 12)-verteilt sind.

  1. Bestimmen Sie I1I_1 so, dass 1 % der Packungen weniger als I1I_1 enthält.
  2. Bestimmen Sie I2I_2 so, dass 1 % der Packungen mehr als I2I_2 enthält.
  3. Wir betrachten zwei zufällig ausgewählte (unabhängige) Packungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine von beiden weniger als 495 g enthält?
Hinweis zur Musterlösung: Für (iii) steht in der Musterlösung 0,85650{,}8565. Richtig gerundet sind es 0,85660{,}8566, und zwar auf beiden Wegen (Schritt 13). 0,85650{,}8565 entsteht nur, wenn man abschneidet statt zu runden. In Prozent: 85,7 %85{,}7\,\%.

Das Modell

was N(500, 12)N(500,\,12) bedeutet

Schritt 1 N(500,12)N(500, 12) lesen: die 12 ist die Varianz

XX = Füllmenge einer zufällig gewählten Packung in Gramm
X∼N(μ, σ2)=N(500, 12)X \sim N(\mu,\,\sigma^2) = N(500,\,12)
Mitte und Varianz ablesen
μ=500,σ2=12\mu = 500, \qquad \sigma^2 = 12
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz
σ=12≈3,4641\sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}4641

Schritt 2 Die Glockenkurve der Füllmengen

Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Dichte fXf_X
P(a≤X≤b)=Fla¨che unter fX zwischen a und b,ganze Fla¨che=1P(a \le X \le b) = \text{Fläche unter } f_X \text{ zwischen } a \text{ und } b, \qquad \text{ganze Fläche} = 1
Erste σ-Regel: zwischen μ−σ\mu - \sigma und μ+σ\mu + \sigma liegen rund 68,2 % der Packungen
500±3,4641:496,54 g bis 503,46 g500 \pm 3{,}4641: \quad 496{,}54 \text{ g bis } 503{,}46 \text{ g}
Zweite σ-Regel: zwischen μ−2σ\mu - 2\sigma und μ+2σ\mu + 2\sigma liegen rund 95,4 %
500±2⋅3,4641=500±6,9282:493,07 g bis 506,93 g500 \pm 2 \cdot 3{,}4641 = 500 \pm 6{,}9282: \quad 493{,}07 \text{ g bis } 506{,}93 \text{ g}

(i) Die untere Grenze I1I_1

1 % der Packungen liegen darunter

Schritt 3 Die Frage umdrehen: Fläche gegeben, Grenze gesucht

„1 % der Packungen enthalten weniger als I1I_1“
P(X<I1)=0,01P(X < I_1) = 0{,}01
Ein einzelner Punkt hat keine Fläche, also ist < dasselbe wie ≤
P(X<I1)=P(X≤I1)=FX(I1)=0,01P(X < I_1) = P(X \le I_1) = F_X(I_1) = 0{,}01
gegeben gesucht R-Befehl
bisher Grenze xx Fläche links von xx pnorm
jetzt Fläche 0,010{,}01 Grenze I1I_1 qnorm

Schritt 4 Das Quantil

Das α-Quantil qαq_\alpha: links von ihm liegt der Anteil α
FX(qα)=P(X≤qα)=αF_X(q_\alpha) = P(X \le q_\alpha) = \alpha
Ein Beispiel, das man ohne Rechnung sieht
q0,5=500,denn P(X≤500)=0,5q_{0{,}5} = 500, \quad \text{denn } P(X \le 500) = 0{,}5
Gesucht in (i): das 1-%-Quantil
I1=q0,01I_1 = q_{0{,}01}

Schritt 5 I1I_1 mit qnorm bestimmen

qnorm(0.01, mean = 500, sd = sqrt(12))
#[1] 491.9413
Auf zwei Nachkommastellen (hundertstel Gramm) gerundet
I1=q0,01≈491,94 gI_1 = q_{0{,}01} \approx 491{,}94 \text{ g}
Probe: die Fläche links von 491,9413 g mit pnorm
FX(491,9413)≈0,0100000=1 %F_X(491{,}9413) \approx 0{,}0100000 = 1\,\%
pnorm(491.9413, mean = 500, sd = sqrt(12))
#[1] 0.01000004

Schritt 6 Die Falle: 12 ist nicht die Standardabweichung

R erwartet die Standardabweichung, nicht die Varianz
sd=σ=12≈3,4641,nicht 12\texttt{sd} = \sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}4641, \qquad \text{nicht } 12
qnorm(0.01, mean = 500, sd = 12)     # falsch: 12 ist die Varianz
#[1] 472.0838
Warum das nicht stimmen kann
500−472,08=27,92 g≈8⋅σ500 - 472{,}08 = 27{,}92 \text{ g} \approx 8 \cdot \sigma

(ii) Die obere Grenze I2I_2

1 % der Packungen liegen darüber

Schritt 7 „1 % mehr als I2I_2“ heißt „99 % höchstens I2I_2“

Die Frage aus (ii)
P(X>I2)=0,01P(X > I_2) = 0{,}01
Gegenereignis: P(X>I2)=1−P(X≤I2)P(X > I_2) = 1 - P(X \le I_2)
1−P(X≤I2)=0,011 - P(X \le I_2) = 0{,}01
Auf beiden Seiten P(X≤I2)P(X \le I_2) addieren
1=0,01+P(X≤I2)1 = 0{,}01 + P(X \le I_2)
Auf beiden Seiten 0,010{,}01 abziehen
P(X≤I2)=1−0,01=0,99P(X \le I_2) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99
Gesucht ist also das 99-%-Quantil
I2=q0,99I_2 = q_{0{,}99}

Schritt 8 I2I_2 mit qnorm bestimmen

qnorm(0.99, mean = 500, sd = sqrt(12))
#[1] 508.0587
Auf zwei Nachkommastellen gerundet
I2=q0,99≈508,06 gI_2 = q_{0{,}99} \approx 508{,}06 \text{ g}

Schritt 9 Symmetrie: I2I_2 liegt so weit über 500 wie I1I_1 darunter

Abstand der beiden Grenzen von der Mitte
500−491,9413=8,0587,508,0587−500=8,0587500 - 491{,}9413 = 8{,}0587, \qquad 508{,}0587 - 500 = 8{,}0587
Probe: Die Mitte der beiden Grenzen ist μ\mu
491,9413+508,0587=1000,10002=500491{,}9413 + 508{,}0587 = 1000, \qquad \frac{1000}{2} = 500

Schritt 10 Ergänzung: 8,06 g sind 2,33 Standardabweichungen

Ergänzung — nicht nötig für die Lösung, aber sie zeigt, woher die 8,06 g kommen.

Standardisieren: wie viele σ liegt xx von μ entfernt?
z=x−μσ,Z=X−μσ∼N(0, 1)z = \frac{x - \mu}{\sigma}, \qquad Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,\,1)
zαz_\alpha heißt das α-Quantil der Standardnormalverteilung (statt qαq_\alpha)
z0,99≈2,326348,z0,01≈−2,326348z_{0{,}99} \approx 2{,}326348, \qquad z_{0{,}01} \approx -2{,}326348
qnorm(0.99)
#[1] 2.326348
Zurück in Gramm: die Formel für zz nach xx auflösen
z=x−μσ∣⋅σz = \frac{x - \mu}{\sigma} \quad \big| \cdot \sigma
z⋅σ=x−μ∣+μz \cdot \sigma = x - \mu \quad \big| + \mu
x=μ+z⋅σx = \mu + z \cdot \sigma
Einsetzen: z0,99⋅σz_{0{,}99} \cdot \sigma ist der Abstand von der Mitte
2,326348⋅3,4641≈8,05872{,}326348 \cdot 3{,}4641 \approx 8{,}0587
I1=500−8,0587=491,9413,I2=500+8,0587=508,0587I_1 = 500 - 8{,}0587 = 491{,}9413, \qquad I_2 = 500 + 8{,}0587 = 508{,}0587

(iii) Zwei Packungen, keine unter 495 g

erst eine Packung, dann das Produkt

Schritt 11 „Keine von beiden unter 495 g“ übersetzen

„keine weniger als 495 g“ = „jede mindestens 495 g“
A1={X1≥495},A2={X2≥495}A_1 = \{X_1 \ge 495\}, \qquad A_2 = \{X_2 \ge 495\}
Gesucht: beide Ereignisse zugleich
P(A1∩A2)P(A_1 \cap A_2)

Schritt 12 Eine Packung: P(X≥495)P(X \ge 495)

Gegenereignis, denn pnorm liefert die Fläche links
P(X≥495)=1−P(X<495)=1−FX(495)P(X \ge 495) = 1 - P(X < 495) = 1 - F_X(495)
pnorm(495, mean = 500, sd = sqrt(12))
#[1] 0.07445734
Einsetzen
P(X≥495)=1−0,0744573=0,9255427≈0,9255P(X \ge 495) = 1 - 0{,}0744573 = 0{,}9255427 \approx 0{,}9255

Schritt 13 Zwei unabhängige Packungen: multiplizieren

Unabhängig: die Wahrscheinlichkeit für beide ist das Produkt
P(A1∩A2)=P(A1)⋅P(A2)P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2)
Mit dem Wert aus Schritt 12 (sieben Nachkommastellen)
P(A1∩A2)=0,9255427⋅0,9255427=0,8566293P(A_1 \cap A_2) = 0{,}9255427 \cdot 0{,}9255427 = 0{,}8566293
Gerundet
P(A1∩A2)≈0,8566≈85,7 %P(A_1 \cap A_2) \approx 0{,}8566 \approx 85{,}7\,\%
Zum Vergleich: erst auf 0,9255 runden, dann quadrieren — gerundet ebenfalls 0,8566
0,92552=0,85655025≈0,85660{,}9255^2 = 0{,}85655025 \approx 0{,}8566

Schritt 14 Ergebnis

✓(i) I1≈491,94I_1 \approx \mathbf{491{,}94} g — nur 1 % der Packungen enthalten weniger
✓(ii) I2≈508,06I_2 \approx \mathbf{508{,}06} g — nur 1 % der Packungen enthalten mehr
✓(iii) P(beide≥495 g)≈0,8566P(\text{beide} \ge 495 \text{ g}) \approx \mathbf{0{,}8566} — in rund 85,7 % der Fälle ist keine der beiden Packungen unter 495 g

Probe zu (i) und (ii): 491,94+508,06=1000491{,}94 + 508{,}06 = 1000 — beide Grenzen liegen gleich weit (8,06 g) von der Mitte 500 g entfernt. Zwischen ihnen liegen 100 %−1 %−1 %=98 %100\,\% - 1\,\% - 1\,\% = 98\,\% aller Packungen.

Probe zu (iii): Für zwei Packungen gibt es vier Fälle. Zusammen müssen sie 1 ergeben:

Packung 1 Packung 2 Rechnung Wahrscheinlichkeit
≥ 495 g ≥ 495 g 0,9255427⋅0,92554270{,}9255427 \cdot 0{,}9255427 0,8566293
≥ 495 g < 495 g 0,9255427⋅0,07445730{,}9255427 \cdot 0{,}0744573 0,0689134
< 495 g ≥ 495 g 0,0744573⋅0,92554270{,}0744573 \cdot 0{,}9255427 0,0689134
< 495 g < 495 g 0,0744573⋅0,07445730{,}0744573 \cdot 0{,}0744573 0,0055439
Summe 1,0000000

Typische Fehler: sd = 12 statt sd = sqrt(12) — 12 ist die Varianz. Für (ii) qnorm(0.01, …) statt qnorm(0.99, …) — ein Quantil zählt immer von links. In (iii) pnorm(495, …) direkt als Antwort nehmen — das ist der Anteil unter 495 g. Oder die beiden Wahrscheinlichkeiten addieren statt multiplizieren.