Histogramm: Wartezeiten an der Bushaltestelle

Schritt 0 Die Aufgabe

Wichtige R-Befehle für deskriptive Statistik (Auszug vom Blatt, soweit Aufgabe 1 sie braucht). Für eine Stichprobe x <- c(x1, ..., xn) bietet R unter anderem:

Kennzahl	R-Befehl	Hinweis
Histogramm	`hist(x)`	Klassenbreite via `breaks`

Hinweis: Das Argument breaks in hist(x) erwartet einen Vektor mit den Klassengrenzen. Mit seq(von, bis, by = b) lässt sich dieser erzeugen — z. B. liefert seq(1, 6, by = 1) die Grenzen 1, 2, 3, 4, 5, 6 für fünf Klassen der Breite $b = 1$ .

Aufgabe 1. An einer Bushaltestelle wurden die Wartezeiten (in Minuten) von $n = 20$ Fahrgästen gemessen:

2,1	3,4	1,8	5,2	4,7	2,9	3,1	4,2	1,9	4,5
1,5	3,8	2,6	4,9	3,3	2,2	4,1	3,7	3,2	2,8

Bestimmen Sie den Wertebereich (Minimum und Maximum) der Daten. Verwenden Sie die Faustformel $k \approx \sqrt{n}$ für die Anzahl der Klassen $k$ und leiten Sie eine sinnvolle Klassenbreite $b$ ab.
Unterteilen Sie den Wertebereich in Intervalle der in (i) bestimmten Breite und zählen Sie die Häufigkeiten $n_j$ in jedem Intervall.
Berechnen Sie für jedes Intervall die empirische Dichte $f_j = \dfrac{n_j}{n \cdot b}$ sowie die relative Häufigkeit $h_j = f_j \cdot b$ . Überprüfen Sie, dass $\sum_j h_j = 1$ .
Erstellen Sie das Histogramm in R zunächst mit Ihrer Klassenbreite aus (i). Probieren Sie anschließend $b \in \{0{,}5;\ 2\}$ aus. Was beobachten Sie? Was spricht jeweils gegen eine zu kleine bzw. zu große Klassenbreite?

Hinweis zur Musterlösung: Die Ergebnisse zu (i) bis (iii) stimmen:

k = 5

b = 1

n_j = 3;\ 5;\ 6;\ 5;\ 1

und

f_j = h_j = 0{,}15;\ 0{,}25;\ 0{,}30;\ 0{,}25;\ 0{,}05

. Vier Punkte weichen ab. (1) Sie begründet

k = 5

mit „Intervalle müssen ganzzahlig sein“. Gemeint ist: Die Anzahl

k

muss eine ganze Zahl sein (Schritt 2). (2) Sie nennt den höchsten Balken einmal „[3,4)“. Die Klassen sind aber rechts geschlossen, richtig ist

(3, 4]

(Schritt 4). (3) Ihre Nummern sind verschoben: Das Zählen steht dort unter (i),

f_j

und

h_j

unter (ii), der R-Code unter (iii). (4) Den R-Code für

b = 1

enthält sie (hier Schritt 9). Der Vergleich mit

b = 0{,}5

und

b = 2

aus Teil (iv) fehlt dort ganz. Hier steht er vollständig in den Schritten 10 bis 13.

(i) Wertebereich und Klassenbreite

wie viele Klassen, wie breit

Schritt 1 Die Stichprobe sortieren: Minimum und Maximum

Die sortierte Stichprobe

x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(20)}

in Minuten

Platz $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$x_{(i)}$	1,5	1,8	1,9	2,1	2,2	2,6	2,8	2,9	3,1	3,2
Platz $i$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$x_{(i)}$	3,3	3,4	3,7	3,8	4,1	4,2	4,5	4,7	4,9	5,2

Minimum und Maximum: der erste und der letzte Platz

x_{(1)} = 1{,}5 \text{ Minuten}, \qquad x_{(20)} = 5{,}2 \text{ Minuten}

Wie breit ist der Wertebereich? Die Spannweite

x_{(20)} - x_{(1)} = 5{,}2 - 1{,}5 = 3{,}7 \text{ Minuten}

x <- c(2.1, 3.4, 1.8, 5.2, 4.7, 2.9, 3.1, 4.2, 1.9, 4.5,
 1.5, 3.8, 2.6, 4.9, 3.3, 2.2, 4.1, 3.7, 3.2, 2.8)
sort(x)
# [1] 1.5 1.8 1.9 2.1 2.2 2.6 2.8 2.9 3.1 3.2 3.3 3.4 3.7 3.8 4.1 4.2 4.5 4.7 4.9
#[20] 5.2
range(x)
#[1] 1.5 5.2

Schritt 2 Die Faustformel $k \approx \sqrt{n}$ : fünf Klassen

Faustformel für die Anzahl

k

der Klassen

k \approx \sqrt{n}

Mit

n = 20

k \approx \sqrt{20} \approx 4{,}47

k

zählt Klassen und muss eine ganze Zahl sein: 4 oder 5. Welche passt, zeigt Schritt 3: Mit der runden Breite 1 ab Grenze 1 reichen vier Klassen nur bis 5, das Maximum ist 5,2 — deshalb

k = 5

sqrt(20)
#[1] 4.472136

Schritt 3 Eine runde Klassenbreite: $b = 1$

Spannweite gleichmäßig auf

k = 5

Klassen verteilen

b \approx \frac{\text{Spannweite}}{k} = \frac{3{,}7}{5} = 0{,}74 \text{ Minuten}

Auf eine runde Zahl aufrunden, damit alles hineinpasst

b = 1 \text{ Minute}, \qquad 5 \cdot 1 = 5 \ge 3{,}7

Start an einer runden Zahl unter dem Minimum 1,5, Ende mindestens beim Maximum: die Grenzen

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \qquad (\text{letzte Grenze } 6 \ge 5{,}2)

Warum nicht

k = 4

: auch dann

b = 1

, aber vier Klassen ab 1 enden bei 5 — also

k = 5

\frac{3{,}7}{4} \approx 0{,}93 \ \to\ b = 1, \qquad 1 + 4 \cdot 1 = 5 < 5{,}2

(ii) Klassen und Häufigkeiten

welcher Wert gehört wohin

Schritt 4 Die Klassen: rechts geschlossene Intervalle

Klasse

j

reicht von der Grenze

g_{j-1}

(ausgeschlossen) bis

g_j

(eingeschlossen)

(g_{j-1},\, g_j] = \{\, t : g_{j-1} < t \le g_j \,\}

$j$	Klasse	bedeutet: Wartezeit $t$ in Minuten mit
1	$(1, 2]$	$1 < t \le 2$
2	$(2, 3]$	$2 < t \le 3$
3	$(3, 4]$	$3 < t \le 4$
4	$(4, 5]$	$4 < t \le 5$
5	$(5, 6]$	$5 < t \le 6$

Schritt 5 Die Häufigkeiten $n_j$ zählen

$j$	Klasse	Werte darin (sortiert)	$n_j$
1	$(1, 2]$	1,5; 1,8; 1,9	3
2	$(2, 3]$	2,1; 2,2; 2,6; 2,8; 2,9	5
3	$(3, 4]$	3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,7; 3,8	6
4	$(4, 5]$	4,1; 4,2; 4,5; 4,7; 4,9	5
5	$(5, 6]$	5,2	1
Summe			20

Probe: Jeder Wert ist genau einmal gezählt

\sum_{j=1}^{5} n_j = 3 + 5 + 6 + 5 + 1 = 20 = n

(iii) Dichte und relative Häufigkeit

Höhe und Fläche der Balken

Schritt 6 Die empirische Dichte $f_j$ : die Höhe des Balkens

Empirische Dichte der Klasse

j

f_j = \frac{n_j}{n \cdot b}

Der Nenner mit

n = 20

und

b = 1

n \cdot b = 20 \cdot 1 = 20

$j$	Klasse	$n_j$	Rechnung	$f_j$
1	$(1, 2]$	3	$3 : 20$	0,15
2	$(2, 3]$	5	$5 : 20$	0,25
3	$(3, 4]$	6	$6 : 20$	0,30
4	$(4, 5]$	5	$5 : 20$	0,25
5	$(5, 6]$	1	$1 : 20$	0,05

Schritt 7 Die relative Häufigkeit $h_j$ : die Fläche des Balkens

Fläche = Breite mal Höhe; das

b

kürzt sich weg

h_j = f_j \cdot b = \frac{n_j}{n \cdot b} \cdot b = \frac{n_j}{n}

Hier ist

b = 1

, also

h_j = f_j \cdot 1 = f_j

h_1 = 0{,}15,\quad h_2 = 0{,}25,\quad h_3 = 0{,}30,\quad h_4 = 0{,}25,\quad h_5 = 0{,}05

Probe aus der Aufgabe: die Summe aller Flächen

\sum_{j=1}^{5} h_j = 0{,}15 + 0{,}25 + 0{,}30 + 0{,}25 + 0{,}05 = 1

Warum immer 1 herauskommt

\sum_{j} h_j = \sum_{j} \frac{n_j}{n} = \frac{n_1 + \dots + n_5}{n} = \frac{20}{20} = 1

Schritt 8 Das Histogramm lesen

Der höchste Balken

f_3 = 0{,}30 \text{ über } (3, 4]: \quad h_3 = 0{,}30 = 30\,\% \text{ der Fahrgäste}

Flächen links und rechts davon

\text{bis 3 Minuten: } 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}40, \qquad \text{über 4 Minuten: } 0{,}25 + 0{,}05 = 0{,}30

(iv) Das Histogramm in R, drei Klassenbreiten

b = 1, dann 0,5 und 2

Schritt 9 Das Histogramm mit R zeichnen

seq(1, 6, by = 1)
#[1] 1 2 3 4 5 6

hist(x,
breaks = seq(1, 6, by = 1),   # Klassen der Breite 1
right  = TRUE,                # rechts geschlossene Intervalle
freq   = FALSE,               # Dichte auf der y-Achse
main   = "Wartezeiten an der Bushaltestelle",
xlab   = "Wartezeit (min)",
ylab   = "Dichte",
col    = "steelblue")

Probe: Dieselbe Zählung ohne Bild (plot = FALSE)

hist(x, breaks = seq(1, 6, by = 1), plot = FALSE)$counts
#[1] 3 5 6 5 1
hist(x, breaks = seq(1, 6, by = 1), plot = FALSE)$density
#[1] 0.15 0.25 0.30 0.25 0.05

Schritt 10 Klassenbreite $b = 0{,}5$ : zehn schmale Balken

seq(1, 6, by = 0.5)
# [1] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
hist(x, breaks = seq(1, 6, by = 0.5), freq = FALSE)

11 Grenzen, also 10 Klassen; Nenner

n \cdot b = 20 \cdot 0{,}5 = 10

f_j = \frac{n_j}{10}, \qquad h_j = \frac{n_j}{20}

Klasse	Werte darin	$n_j$	$f_j$	$h_j$
$(1;\ 1{,}5]$	1,5	1	0,1	0,05
$(1{,}5;\ 2]$	1,8; 1,9	2	0,2	0,10
$(2;\ 2{,}5]$	2,1; 2,2	2	0,2	0,10
$(2{,}5;\ 3]$	2,6; 2,8; 2,9	3	0,3	0,15
$(3;\ 3{,}5]$	3,1; 3,2; 3,3; 3,4	4	0,4	0,20
$(3{,}5;\ 4]$	3,7; 3,8	2	0,2	0,10
$(4;\ 4{,}5]$	4,1; 4,2; 4,5	3	0,3	0,15
$(4{,}5;\ 5]$	4,7; 4,9	2	0,2	0,10
$(5;\ 5{,}5]$	5,2	1	0,1	0,05
$(5{,}5;\ 6]$	—	0	0	0
Summe		20		1,00

Zwei halbe Balken ergeben im Mittel den ganzen: Klasse

(3, 4]

bei

b = 1

\frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} = 0{,}3 = f_3 \text{ bei } b = 1

Schritt 11 Der Fallstrick: seq(1, 6, by = 2)

seq(1, 6, by = 2)
#[1] 1 3 5
hist(x, breaks = seq(1, 6, by = 2), freq = FALSE)
#Error in hist.default(x, breaks = seq(1, 6, by = 2), freq = FALSE) :
#  some 'x' not counted; maybe 'breaks' do not span range of 'x'

Die letzte Grenze liegt unter dem Maximum

5 < 5{,}2 = x_{(20)} \quad\Rightarrow\quad 5{,}2 \text{ liegt in keiner Klasse}

Abhilfe: „bis“ so wählen, dass die letzte Grenze mindestens das Maximum ist

seq(1, 7, by = 2)
#[1] 1 3 5 7

Schritt 12 Klassenbreite $b = 2$ : drei breite Balken

hist(x, breaks = seq(1, 7, by = 2), freq = FALSE)

3 Klassen; Nenner

n \cdot b = 20 \cdot 2 = 40

f_j = \frac{n_j}{40}, \qquad h_j = f_j \cdot 2 = \frac{n_j}{20}

Klasse	$n_j$	Rechnung	$f_j$	$h_j$
$(1, 3]$	8	$8 : 40$	0,2	0,40
$(3, 5]$	11	$11 : 40$	0,275	0,55
$(5, 7]$	1	$1 : 40$	0,025	0,05
Summe	20			1,00

Ein breiter Balken ist das Mittel der zwei Balken mit

b = 1

darunter

(3, 5]: \ \frac{0{,}30 + 0{,}25}{2} = 0{,}275, \qquad (1, 3]: \ \frac{0{,}15 + 0{,}25}{2} = 0{,}2

Schritt 13 Zu klein oder zu groß: was dagegen spricht

$b$	$k$	Werte je Klasse im Mittel	Beobachtung
0,5	10	$20 : 10 = 2$	zackig, eine leere Klasse, Zufall sichtbar
1	5	$20 : 5 = 4$	ein Gipfel bei 3 bis 4 Minuten, Form erkennbar
2	3	$20 : 3 \approx 6{,}7$	nur drei Blöcke, Form geht verloren

Mit freq = FALSE hat jedes der drei Histogramme die Gesamtfläche 1

\sum_j h_j = 1 \quad \text{für } b = 0{,}5,\ b = 1 \text{ und } b = 2

Schritt 14 Ergebnis

✓(i) Minimum

1{,}5

, Maximum

5{,}2

Minuten, Spannweite

3{,}7

\sqrt{20} \approx 4{,}47

, also

\mathbf{k = 5}

Klassen der Breite

\mathbf{b = 1}

Minute mit den Grenzen 1, 2, …, 6.

✓(ii)

n_j = 3;\ 5;\ 6;\ 5;\ 1

(1,2],\ (2,3],\ (3,4],\ (4,5],\ (5,6]

— zusammen 20.

✓(iii)

f_j = h_j = 0{,}15;\ 0{,}25;\ 0{,}30;\ 0{,}25;\ 0{,}05

und

\sum_j h_j = 1

✓(iv)

b = 0{,}5

: zackig mit Lücke — zu wenige Werte je Klasse.

b = 2

: nur drei Balken — die Form verschwindet. In R braucht

b = 2

die Grenzen seq(1, 7, by = 2), weil seq(1, 6, by = 2) bei 5 aufhört.

Klasse	$n_j$	$f_j$	$h_j$
$(1, 2]$	3	0,15	0,15
$(2, 3]$	5	0,25	0,25
$(3, 4]$	6	0,30	0,30
$(4, 5]$	5	0,25	0,25
$(5, 6]$	1	0,05	0,05
Summe	20		1,00

Probe: Die Häufigkeiten ergeben $n = 20$ , die Flächen ergeben 1. Bei jeder Klassenbreite gilt dasselbe (Schritte 10 und 12).

Typische Fehler: Den Wert auf einer Grenze in die falsche Klasse zählen (rechts geschlossen: 4,5 gehört zu $(4;\ 4{,}5]$ ). Bei $b \ne 1$ vergessen, durch $b$ zu teilen — dann ist $f_j$ keine Dichte mehr und die Flächen ergeben nicht 1. In R die letzte Grenze kleiner als das Maximum wählen.

Teil	Weg	Ergebnis
(i)	sortieren, $\sqrt{20} \approx 4{,}47$ , $3{,}7 : 5 = 0{,}74$ aufrunden	$k = 5$ , $b = 1$
(ii)	Klassen $(1,2], \dots, (5,6]$ , zählen	3; 5; 6; 5; 1
(iii)	$f_j = n_j : 20$ , $h_j = f_j \cdot 1$	Σ $h_j$ = 1
(iv)	`hist(…, freq = FALSE)`, $b$ = 0,5 / 1 / 2	$b = 1$ am besten