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ESTO · Übungsblatt 5 · Aufgabe 4

Boxplot: Reaktionszeiten mit Ausreißer

Zwölf Personen wurden auf ihre Reaktionszeit getestet, eine davon brauchte fast eine Sekunde. Ein Boxplot fasst die zwölf Werte in einem Bild zusammen und zeigt so einen Wert, der nicht zu den übrigen passt. Hier wird der Boxplot Teil für Teil gebaut, der Ausreißer mit einer festen Regel (IQR-Regel) formal bestätigt und entfernt. Danach wird am neuen Boxplot die Form der Verteilung abgelesen. Rechts steht der ganze Lösungsweg, links die Erklärung zum aktuellen Schritt. Mit Weiter geht es Schritt für Schritt voran. Ein Klick auf einen Schritt springt direkt dorthin.

Schritt 0 Die Aufgabe

In einer Reaktionszeitstudie wurden n=12n = 12 Testpersonen gemessen (in Millisekunden):

245  312  298  267  284  301  259  290  276  288  315  892

  1. Erstellen Sie in R einen Boxplot. Was fällt Ihnen auf?
  2. Prüfen Sie mit der IQR-Regel in R formal, ob ein Ausreißer vorliegt.
  3. Entfernen Sie den Ausreißer und erstellen Sie einen neuen Boxplot. Lesen Sie x0,25x_{0{,}25}, x0,5x_{0{,}5} und x0,75x_{0{,}75} aus dem Plot ab und bestätigen Sie die Werte mit summary().
  4. Beurteilen Sie anhand des Boxplots die Verteilungsform der bereinigten Daten.

Aus dem Aufgabenblatt, „Wichtige R-Befehle für deskriptive Statistik“ (für eine Stichprobe x <- c(x1, …, xn)), die Zeilen, die diese Aufgabe braucht:

Kennzahl R-Befehl Hinweis
Stichprobenmittelwert xˉn\bar x_n mean(x) arithmetisches Mittel
Median x˙n\dot x_n median(x) 50-%-Quantil
Quantile xpx_p quantile(x, p) z. B. quantile(x, 0.25)
Interquartilsabstand (IQR) IQR(x) x0,75−x0,25x_{0{,}75} - x_{0{,}25}
Fünf-Zahlen-Zusammenfassung summary(x) Min, x0,25x_{0{,}25}, Median, x0,75x_{0{,}75}, Max
Boxplot boxplot(x) mit Ausreißermarkierung

Hinweis vom Aufgabenblatt: Ein Wert heißt Ausreißer, falls er außerhalb des folgenden Intervalls liegt:

[ x0,25−1,5⋅IQR,    x0,75+1,5⋅IQR ]\big[\,x_{0{,}25} - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR},\;\; x_{0{,}75} + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR}\,\big]
Hinweis zur Musterlösung: Sie rundet in (ii) die Quartile und Schranken auf 274274, 304304, 229229 und 349349; genau sind es 273,75273{,}75, 303,75303{,}75, 228,75228{,}75 und 348,75348{,}75 (Schritte 6 und 8). Am Ergebnis ändert das nichts. Der bereinigte Boxplot in (iii) trägt dort noch den Titel „mit Ausreißer“ (Schritt 12). In (iv) steht beim unteren Whisker 275,5−245275{,}5 - 245; gemeint ist 271,5−245271{,}5 - 245 — die Länge 26,526{,}5 ms stimmt (Schritt 15).

(i) und (ii) Der Boxplot mit allen 12 Werten

Teil für Teil gebaut, dann die IQR-Regel

Schritt 1 Die Stichprobe sortieren

x <- c(245, 312, 298, 267, 284, 301, 259, 290, 276, 288, 315, 892)
sort(x)
# [1] 245 259 267 276 284 288 290 298 301 312 315 892
Sortierte Stichprobe: x(i)x_{(i)} ist der Wert auf Platz ii
x(1)=245,    x(2)=259,    x(3)=267,    x(4)=276,    x(5)=284,    x(6)=288x_{(1)} = 245,\;\; x_{(2)} = 259,\;\; x_{(3)} = 267,\;\; x_{(4)} = 276,\;\; x_{(5)} = 284,\;\; x_{(6)} = 288
x(7)=290,    x(8)=298,    x(9)=301,    x(10)=312,    x(11)=315,    x(12)=892x_{(7)} = 290,\;\; x_{(8)} = 298,\;\; x_{(9)} = 301,\;\; x_{(10)} = 312,\;\; x_{(11)} = 315,\;\; x_{(12)} = 892
Kleinster und größter Wert
Minimum x(1)=245 ms,Maximum x(12)=892 ms\text{Minimum } x_{(1)} = 245 \text{ ms}, \qquad \text{Maximum } x_{(12)} = 892 \text{ ms}

Schritt 2 Der Median: die Mitte der sortierten Werte

n=12n = 12 ist gerade: Mittelwert der beiden mittleren Werte, Platz 6 und 7
x˙12=x(6)+x(7)2=288+2902=5782=289 ms\dot x_{12} = \frac{x_{(6)} + x_{(7)}}{2} = \frac{288 + 290}{2} = \frac{578}{2} = 289 \text{ ms} 
median(x)
#[1] 289

Schritt 3 Die Box: die mittlere Hälfte der Werte

Untere Hälfte (Platz 1–6): ihre Mitte liegt zwischen dem 3. und 4. Wert
245    259    267  ∣  276    284    288267+2762=5432=271,5 ms245 \;\; 259 \;\; \mathbf{267} \;\big|\; \mathbf{276} \;\; 284 \;\; 288 \qquad \frac{267 + 276}{2} = \frac{543}{2} = 271{,}5 \text{ ms}
Obere Hälfte (Platz 7–12): ihre Mitte liegt zwischen dem 9. und 10. Wert
290    298    301  ∣  312    315    892301+3122=6132=306,5 ms290 \;\; 298 \;\; \mathbf{301} \;\big|\; \mathbf{312} \;\; 315 \;\; 892 \qquad \frac{301 + 312}{2} = \frac{613}{2} = 306{,}5 \text{ ms}
Die Box reicht von 271,5 bis 306,5 ms; ihre Breite
306,5−271,5=35 ms306{,}5 - 271{,}5 = 35 \text{ ms}
Bereich Werte Anzahl
links der Box (unter 271,5) 245, 259, 267 3
in der Box 276, 284, 288, 290, 298, 301 6
rechts der Box (über 306,5) 312, 315, 892 3

Schritt 4 Whisker und Punkte: was außerhalb der Box liegt

Wie weit ein Whisker höchstens reichen darf: das 1,5-Fache der Boxbreite
1,5⋅35=52,5 ms1{,}5 \cdot 35 = 52{,}5 \text{ ms}
Die Grenzen, die boxplot() damit zieht
271,5−52,5=219 ms,306,5+52,5=359 ms271{,}5 - 52{,}5 = 219 \text{ ms}, \qquad 306{,}5 + 52{,}5 = 359 \text{ ms}
Teil reicht bis Grund
linker Whisker 245 kleinster Wert, der nicht unter 219 liegt
rechter Whisker 315 größter Wert, der nicht über 359 liegt
einzelner Punkt 892 liegt über 359

Schritt 5 Der Boxplot in R: was fällt auf?

boxplot(x,
  main = "Reaktionszeiten (mit Ausreißer)",
  ylab = "Zeit (ms)")
Die übrigen 11 Werte liegen dicht beieinander
315−245=70 ms315 - 245 = 70 \text{ ms}
892 liegt weit hinter dem größten übrigen Wert
892−315=577 ms892 - 315 = 577 \text{ ms}
Die Achse muss von rund 200 bis 900 ms reichen, Box und Whisker bekommen davon nur
70700=0,1=10 %\frac{70}{700} = 0{,}1 = 10\,\%

Schritt 6 Die Quartile mit quantile()

Regel von quantile(): Stelle 1+(n−1)⋅p1 + (n-1) \cdot p in der sortierten Stichprobe
p=0,25:1+11⋅0,25=3,75p = 0{,}25: \quad 1 + 11 \cdot 0{,}25 = 3{,}75
x0,25=x(3)+0,75⋅(x(4)−x(3))x_{0{,}25} = x_{(3)} + 0{,}75 \cdot \big(x_{(4)} - x_{(3)}\big)
x0,25=267+0,75⋅(276−267)=267+0,75⋅9=267+6,75=273,75 msx_{0{,}25} = 267 + 0{,}75 \cdot (276 - 267) = 267 + 0{,}75 \cdot 9 = 267 + 6{,}75 = 273{,}75 \text{ ms}
Dasselbe für p=0,75p = 0{,}75
p=0,75:1+11⋅0,75=9,25p = 0{,}75: \quad 1 + 11 \cdot 0{,}75 = 9{,}25
x0,75=x(9)+0,25⋅(x(10)−x(9))x_{0{,}75} = x_{(9)} + 0{,}25 \cdot \big(x_{(10)} - x_{(9)}\big)
x0,75=301+0,25⋅(312−301)=301+0,25⋅11=301+2,75=303,75 msx_{0{,}75} = 301 + 0{,}25 \cdot (312 - 301) = 301 + 0{,}25 \cdot 11 = 301 + 2{,}75 = 303{,}75 \text{ ms} 
q1 <- quantile(x, 0.25)
q1
#   25%
#273.75
q3 <- quantile(x, 0.75)
q3
#   75%
#303.75

Schritt 7 Zwei Regeln für dieselbe Viertelgrenze

Ein Viertel von 12 Werten sind 3 Werte: die Grenze liegt in der Lücke zwischen Platz 3 und 4
x(3)=267bisx(4)=276,Lu¨cke 9 msx_{(3)} = 267 \quad\text{bis}\quad x_{(4)} = 276, \qquad \text{Lücke } 9 \text{ ms}
Oben genauso: drei Viertel von 12 sind 9 Werte, die Grenze liegt zwischen Platz 9 und 10
x(9)=301bisx(10)=312,Lu¨cke 11 msx_{(9)} = 301 \quad\text{bis}\quad x_{(10)} = 312, \qquad \text{Lücke } 11 \text{ ms}
Regel untere Grenze obere Grenze
boxplot(): Mitte der Lücke 267+12⋅9=271,5267 + \tfrac12 \cdot 9 = 271{,}5 301+12⋅11=306,5301 + \tfrac12 \cdot 11 = 306{,}5
quantile(): Stelle 3,75 bzw. 9,25 267+34⋅9=273,75267 + \tfrac34 \cdot 9 = 273{,}75 301+14⋅11=303,75301 + \tfrac14 \cdot 11 = 303{,}75
quantile() verteilt die Anteile pp von 0 bis 1 gleichmäßig auf die Plätze 1 bis 12
p=0,25:1+11⋅0,25=3,75,p=0,75:1+11⋅0,75=9,25p = 0{,}25: \quad 1 + 11 \cdot 0{,}25 = 3{,}75, \qquad p = 0{,}75: \quad 1 + 11 \cdot 0{,}75 = 9{,}25 
boxplot.stats(x)$stats
#[1] 245.0 271.5 289.0 306.5 315.0

Schritt 8 Interquartilsabstand und Schranken

Interquartilsabstand: Abstand der beiden Quartile aus Schritt 6
IQR=x0,75−x0,25=303,75−273,75=30 ms\mathrm{IQR} = x_{0{,}75} - x_{0{,}25} = 303{,}75 - 273{,}75 = 30 \text{ ms}
Etwas weniger als die Boxbreite aus Schritt 3, weil quantile() die Quartile etwas weiter innen setzt (Schritt 7)
30 ms<35 ms30 \text{ ms} < 35 \text{ ms}
Das 1,5-Fache davon
1,5⋅IQR=1,5⋅30=45 ms1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} = 1{,}5 \cdot 30 = 45 \text{ ms}
Untere und obere Schranke
xlower=x0,25−1,5⋅IQR=273,75−45=228,75 msx_{\text{lower}} = x_{0{,}25} - 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} = 273{,}75 - 45 = 228{,}75 \text{ ms}
xupper=x0,75+1,5⋅IQR=303,75+45=348,75 msx_{\text{upper}} = x_{0{,}75} + 1{,}5 \cdot \mathrm{IQR} = 303{,}75 + 45 = 348{,}75 \text{ ms} 
iqr <- IQR(x)
iqr
#[1] 30
lower <- q1 - 1.5 * iqr
upper <- q3 + 1.5 * iqr
lower
#   25%
#228.75
upper
#   75%
#348.75

Schritt 9 Der Ausreißer: nur 892 liegt außerhalb

Ausreißer: x<xlowerx < x_{\text{lower}} oder x>xupperx > x_{\text{upper}}
x<228,75oderx>348,75x < 228{,}75 \quad \text{oder} \quad x > 348{,}75
Prüfung Wert Ergebnis
kleinster Wert 245 245≥228,75245 \ge 228{,}75 — kein Ausreißer nach unten
größter Wert ohne 892 315 315≤348,75315 \le 348{,}75 — liegt innerhalb
größter Wert 892 892>348,75892 > 348{,}75 — Ausreißer 
x[x < lower | x > upper]
#[1] 892

(iii) und (iv) Der Boxplot ohne Ausreißer

ablesen, bestätigen, Form beurteilen

Schritt 10 Den Ausreißer entfernen

x_clean <- x[x != 892]
length(x_clean)
#[1] 11
sort(x_clean)
# [1] 245 259 267 276 284 288 290 298 301 312 315
Die bereinigte Stichprobe, sortiert: n=11n = 11
x(1)=245,    x(2)=259,    x(3)=267,    x(4)=276,    x(5)=284,    x(6)=288x_{(1)} = 245,\;\; x_{(2)} = 259,\;\; x_{(3)} = 267,\;\; x_{(4)} = 276,\;\; x_{(5)} = 284,\;\; x_{(6)} = 288
x(7)=290,    x(8)=298,    x(9)=301,    x(10)=312,    x(11)=315x_{(7)} = 290,\;\; x_{(8)} = 298,\;\; x_{(9)} = 301,\;\; x_{(10)} = 312,\;\; x_{(11)} = 315

Schritt 11 Median und Quartile der bereinigten Daten

n=11n = 11 ist ungerade: der Median ist der Wert auf Platz 11+12=6\tfrac{11+1}{2} = 6
x0,5=x˙11=x(6)=288 msx_{0{,}5} = \dot x_{11} = x_{(6)} = 288 \text{ ms}
quantile(): Stelle 1+(n−1)⋅p1 + (n-1) \cdot p mit n−1=10n - 1 = 10
p=0,25:1+10⋅0,25=3,5p = 0{,}25: \quad 1 + 10 \cdot 0{,}25 = 3{,}5
x0,25=x(3)+0,5⋅(x(4)−x(3))=267+0,5⋅9=267+4,5=271,5 msx_{0{,}25} = x_{(3)} + 0{,}5 \cdot \big(x_{(4)} - x_{(3)}\big) = 267 + 0{,}5 \cdot 9 = 267 + 4{,}5 = 271{,}5 \text{ ms}
p=0,75:1+10⋅0,75=8,5p = 0{,}75: \quad 1 + 10 \cdot 0{,}75 = 8{,}5
x0,75=x(8)+0,5⋅(x(9)−x(8))=298+0,5⋅3=298+1,5=299,5 msx_{0{,}75} = x_{(8)} + 0{,}5 \cdot \big(x_{(9)} - x_{(8)}\big) = 298 + 0{,}5 \cdot 3 = 298 + 1{,}5 = 299{,}5 \text{ ms}
boxplot(): Mitte jeder Hälfte; bei ungeradem nn gehört der Median zu beiden Hälften
245    259    267  ∣  276    284    288267+2762=271,5245 \;\; 259 \;\; \mathbf{267} \;\big|\; \mathbf{276} \;\; 284 \;\; 288 \qquad \frac{267 + 276}{2} = 271{,}5
288    290    298  ∣  301    312    315298+3012=299,5288 \;\; 290 \;\; \mathbf{298} \;\big|\; \mathbf{301} \;\; 312 \;\; 315 \qquad \frac{298 + 301}{2} = 299{,}5

Schritt 12 Der neue Boxplot: kein weiterer Ausreißer

IQR-Regel noch einmal, mit den neuen Quartilen
IQR=299,5−271,5=28 ms,1,5⋅28=42 ms\mathrm{IQR} = 299{,}5 - 271{,}5 = 28 \text{ ms}, \qquad 1{,}5 \cdot 28 = 42 \text{ ms}
xlower=271,5−42=229,5 msx_{\text{lower}} = 271{,}5 - 42 = 229{,}5 \text{ ms}
xupper=299,5+42=341,5 msx_{\text{upper}} = 299{,}5 + 42 = 341{,}5 \text{ ms}
Alle 11 Werte liegen zwischen den Schranken
229,5≤245und315≤341,5229{,}5 \le 245 \quad\text{und}\quad 315 \le 341{,}5
Die Whisker reichen deshalb bis zum kleinsten und größten Wert
linker Whisker bis 245 ms,rechter Whisker bis 315 ms\text{linker Whisker bis } 245 \text{ ms}, \qquad \text{rechter Whisker bis } 315 \text{ ms} 
boxplot(x_clean,
  main = "Reaktionszeiten (ohne Ausreißer)",
  ylab = "Zeit (ms)")

Schritt 13 Ablesen und mit summary() bestätigen

summary(x_clean)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.
#  245.0   271.5   288.0   285.0   299.5   315.0
unteres Quartil Median oberes Quartil
Zeichen x0,25x_{0{,}25} x0,5x_{0{,}5} x0,75x_{0{,}75}
aus dem Boxplot abgelesen ≈ 271 ≈ 288 ≈ 300
summary() 271,5 288,0 299,5
Mean ist der Stichprobenmittelwert der 11 Werte
xˉ11=245+259+267+276+284+288+290+298+301+312+31511=3.13511=285 ms\bar x_{11} = \frac{245 + 259 + 267 + 276 + 284 + 288 + 290 + 298 + 301 + 312 + 315}{11} = \frac{3.135}{11} = 285 \text{ ms}

Schritt 14 Drei Formen am Boxplot erkennen

symmetrisch Median in der Mitte der Box, beide Whisker etwa gleich lang linksschief Median rechts in der Box, linker Whisker lang rechtsschief Median links in der Box, rechter Whisker lang
Form Median in der Box längerer Whisker Mittelwert
symmetrisch etwa in der Mitte keiner, etwa gleich etwa gleich dem Median
linksschief näher am rechten Rand links (kleine Werte) kleiner als der Median
rechtsschief näher am linken Rand rechts (große Werte) größer als der Median

Schritt 15 Die bereinigten Daten: leicht linksschief

Lage des Medians in der Box: die beiden Boxhälften
untere Ha¨lfte: x˙11−x0,25=288−271,5=16,5 ms\text{untere Hälfte: } \dot x_{11} - x_{0{,}25} = 288 - 271{,}5 = 16{,}5 \text{ ms}
obere Ha¨lfte: x0,75−x˙11=299,5−288=11,5 ms\text{obere Hälfte: } x_{0{,}75} - \dot x_{11} = 299{,}5 - 288 = 11{,}5 \text{ ms}
Länge der Whisker: vom Boxrand bis zum kleinsten bzw. größten Wert
unterer Whisker: x0,25−x(1)=271,5−245=26,5 ms\text{unterer Whisker: } x_{0{,}25} - x_{(1)} = 271{,}5 - 245 = 26{,}5 \text{ ms}
oberer Whisker: x(11)−x0,75=315−299,5=15,5 ms\text{oberer Whisker: } x_{(11)} - x_{0{,}75} = 315 - 299{,}5 = 15{,}5 \text{ ms}
Zur Kontrolle: Mittelwert und Median aus Schritt 13
xˉ11=285<288=x˙11\bar x_{11} = 285 < 288 = \dot x_{11}
Merkmal links (unten) rechts (oben) deutet auf
Boxhälfte 16,5 11,5 linksschief
Whisker 26,5 15,5 linksschief

Schritt 16 Ergebnis

✓(i) Im Boxplot steht ein einzelner Punkt bei 892 ms, weit weg von allen anderen Werten. Box und Whisker schrumpfen zu einem schmalen Streifen, weil die Achse bis 892 reichen muss.
✓(ii) x0,25=273,75x_{0{,}25} = 273{,}75, x0,75=303,75x_{0{,}75} = 303{,}75, IQR=30\mathrm{IQR} = 30, Schranken 228,75228{,}75 und 348,75348{,}75 ms: nur 892 ms liegt außerhalb und ist ein Ausreißer.
✓(iii) Ohne 892: x0,25=271,5x_{0{,}25} = \mathbf{271{,}5}, x0,5=288x_{0{,}5} = \mathbf{288}, x0,75=299,5x_{0{,}75} = \mathbf{299{,}5} ms — abgelesen etwa 271, 288 und 300, von summary() bestätigt. Kein weiterer Ausreißer.
✓(iv) Die bereinigten Daten sind leicht linksschief: Die untere Boxhälfte (16,5 ms) und der untere Whisker (26,5 ms) sind länger als die oberen (11,5 und 15,5 ms). Bei nur 11 Werten ist das ein Hinweis, keine sichere Aussage.

Probe: In der Box von (i) liegen 6 der 12 Werte, links und rechts davon je 3 — die mittlere Hälfte, wie es sein soll. Im bereinigten Boxplot stimmen die Zahlen aus quantile(), boxplot() und summary() alle überein.

Typische Fehler: Die Box-Ränder von boxplot() (271,5 und 306,5) mit den Werten von quantile() (273,75 und 303,75) verwechseln — bei 12 Werten sind sie verschieden. Nach dem Entfernen die IQR-Regel nicht noch einmal prüfen. „Linksschief“ für einen Gipfel links halten — es heißt: die lange Seite zeigt nach links.