Aufgabe 1 dieses Blatts hat gezeigt, wie man misst, ob zwei Größen gemeinsam steigen oder
fallen: mit Kovarianz und Korrelation. Hier kommt eine neue Frage dazu. Reicht ein
Zusammenhang, den man in wenigen Daten sieht, als Nachweis? Oder könnte er Zufall sein?
Die Daten: fünf Kartoffeln. Von jeder kennt man zwei Zahlen.
Das spezifische Gewicht x x x
Der Stärkegehalt y y y
„Normalverteilung der Daten wird angenommen“ heißt: Man darf davon ausgehen, dass beide
Messgrößen normalverteilt sind. Das braucht der Test in (ii).
Gesucht sind:
(i) eine Zahl, die Stichprobenkorrelation ρ ^ \hat\rho ρ ^ Art von Zusammenhang, steigend oder fallend? Und wie stark ?
(ii) eine Testentscheidung zum Niveau 5 %: Lässt sich der Zusammenhang nachweisen?
Der Weg in sechs Etappen:
Die Daten als Punkte ansehen und ihren Schwerpunkt bestimmen (Schritte 1–2).
Von Hand die Kovarianz ausrechnen: Abweichungen, Produkte, Summe (Schritte 3–5).
Durch die Standardabweichungen teilen: die Korrelation ρ ^ \hat\rho ρ ^
(ii) Den Test aufstellen und die Teststatistik R R R
Mit kritischem Wert und p p p
Einordnen: einseitig oder zweiseitig, Zusammenhang oder Ursache; als Ergänzung die Grenze
für ρ ^ \hat\rho ρ ^
Merke: (i) beschreibt nur die fünf Kartoffeln. (ii) fragt, ob man daraus auf
alle Kartoffeln dieser Art schließen darf. Dafür braucht man einen Test.
Zur Musterlösung: Sie rechnet (i) nur mit R; hier steht die Rechnung zusätzlich von
Hand. Zwei Zahlen weichen ab, die Entscheidungen nicht. (1) Im Text steht
ρ ^ ≈ 0,9878 \hat\rho \approx
0{,}9878 ρ ^ ≈ 0 , 9878 , die R-Ausgabe direkt darüber zeigt 0,98675. Richtig ist
ρ ^ ≈ 0,9868 \hat\rho \approx
0{,}9868 ρ ^ ≈ 0 , 9868 ; in der 0,9878 steht an der dritten Nachkommastelle eine 7 statt einer 6, ein
Tippfehler (Schritt 7). (2) Für den Test in (ii) wird aus
ρ ^ \hat\rho ρ ^ eine Prüfzahl
R R R
berechnet, die Teststatistik. Die Musterlösung erhält
10,5542 10{,}5542 10 , 5542 , weil sie
ρ ^ \hat\rho ρ ^ vorher
auf
0,9868 0{,}9868 0 , 9868 rundet. Mit allen Stellen ergibt sich
10,5339 10{,}5339 10 , 5339 ; dasselbe liefert das
Statistikprogramm R (Ausgabe
t = 10.534). Mehr dazu in den Schritten
14 und 15.
( x i , y i ) (x_i,\ y_i) ( x i , y i ) = (Gewicht, Stärke) für
i = 1 , … , 5 i = 1, \dots, 5 i = 1 , … , 5 ;
n = 5 n = 5 n = 5
Zuerst bekommen die Zahlen Namen. i i i x i x_i x i y i y_i y i x 1 = 1.060 x_1 = 1.060 x 1 = 1.060 y 1 = 9,6 y_1 = 9{,}6 y 1 = 9 , 6
Die beiden Zahlen einer Kartoffel gehören zusammen. Sie wurden an
derselben Knolle gemessen. Man schreibt sie deshalb als Paar ( x i , y i ) (x_i,\ y_i) ( x i , y i ) verbundene Stichprobe . Die Paare darf man nicht
auseinanderreißen: Würde man die y y y n = 5 n = 5 n = 5
Ein Paar lässt sich als Punkt zeichnen: x i x_i x i y i y_i y i Streudiagramm (englisch scatter plot ). Im Bild ist
jeder Punkt eine Kartoffel, die Nummer steht daneben.
Was man sieht: Die Punkte steigen von links unten nach rechts oben, fast wie auf
einer Linie. Schwerere Knollen haben mehr Stärke. Man sagt: x x x y y y positiv assoziiert . Eine Zunahme von x x x y y y
Wie stark dieser Zusammenhang ist, soll eine einzige Zahl messen. Die nächsten Schritte
bauen sie auf.
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“):
Werden an jedem Objekt zwei Größen gemessen, bilden die Paare eine verbundene Stichprobe.
Im Streudiagramm ist jedes Paar ein Punkt; so sieht man einen Zusammenhang schon vor dem
Rechnen.
x ˉ = 1.070,8 \bar x = 1.070{,}8 x ˉ = 1.070 , 8 ,
y ˉ = 11,34 \bar y = 11{,}34 y ˉ = 11 , 34
Ob die Punkte gemeinsam steigen, misst man von einem Bezugspunkt aus: der Mitte der
Punktwolke. Das ist der Punkt aus den beiden Mittelwerten, ( x ˉ ∣ y ˉ ) (\bar x \mid \bar y) ( x ˉ ∣ y ˉ ) Schwerpunkt . Wären die fünf Punkte gleich schwere Kugeln auf einem Brett,
wäre das Brett genau dort im Gleichgewicht.
Mittelwert der Gewichte (x ˉ \bar x x ˉ
1.060 + 1.065 + 1.070 + 1.075 + 1.084 = 5.354 1.060 + 1.065 + 1.070 + 1.075 + 1.084 = 5.354 1.060 + 1.065 + 1.070 + 1.075 + 1.084 = 5.354 5.354 : 5 = 1.070,8 5.354 : 5 = \mathbf{1.070{,}8} 5.354 : 5 = 1.070 , 8
Mittelwert der Stärkegehalte (y ˉ \bar y y ˉ
9,6 + 10,5 + 11,4 + 11,6 + 13,6 = 56,7 9{,}6 + 10{,}5 + 11{,}4 + 11{,}6 + 13{,}6 = 56{,}7 9 , 6 + 10 , 5 + 11 , 4 + 11 , 6 + 13 , 6 = 56 , 7 56,7 : 5 = 11,34 56{,}7 : 5 = \mathbf{11{,}34} 56 , 7 : 5 = 11 , 34
Die „mittlere Kartoffel“ hat also 1.070,8 mg/cm³ und 11,34 % Stärke. Im Bild ist der
Schwerpunkt der kleine gefüllte Punkt. Die gestrichelten Linien gehen durch ihn: senkrecht
bei x ˉ \bar x x ˉ y ˉ \bar y y ˉ
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Der
Stichprobenmittelwert ist
x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i x ˉ = n 1 ∑ i = 1 n x i , die Summe aller Werte
geteilt durch ihre Anzahl. Das Zeichen
Σ \Sigma Σ heißt „addiere für
i = 1 i = 1 i = 1 bis
n n n “.
x i − x ˉ x_i - \bar x x i − x ˉ und
y i − y ˉ y_i - \bar y y i − y ˉ ; Summe jeweils 0
Jetzt wird jede Kartoffel mit dem Schwerpunkt verglichen, getrennt für beide Größen:
x i − x ˉ x_i - \bar x x i − x ˉ rechts (plus) oder links (minus)
vom Schwerpunkt?
y i − y ˉ y_i - \bar y y i − y ˉ über (plus) oder unter (minus) dem
Schwerpunkt?
Kartoffel 1: 1.060 − 1.070,8 = − 10,8 1.060 - 1.070{,}8 = -10{,}8 1.060 − 1.070 , 8 = − 10 , 8 9,6 − 11,34 = − 1,74 9{,}6 - 11{,}34 = -1{,}74 9 , 6 − 11 , 34 = − 1 , 74
Die gestrichelten Linien teilen das Bild in vier Felder. In welchem Feld ein Punkt liegt,
sagen die beiden Vorzeichen:
Kartoffel 1 und 2: beide Abweichungen minus, also links unten .
Kartoffel 4 und 5: beide plus, also rechts oben .
Kartoffel 3: x x x − 0,8 -0{,}8 − 0 , 8 y y y + 0,06 +0{,}06 + 0 , 06 links oben .
Sie liegt fast genau auf dem Schwerpunkt.
Probe: Die Abweichungen ergeben zusammen 0, bei x x x y y y
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Die Summe der
Abweichungen vom Mittelwert ist bei jeder Stichprobe 0. Allein taugt sie deshalb nicht als
Maß.
∑ ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) = 54,54 \sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) = 54{,}54 ∑ ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) = 54 , 54
Wie misst man, ob die Punkte gemeinsam vom Schwerpunkt abweichen? Man multipliziert
für jede Kartoffel ihre beiden Abweichungen.
Das Bild dazu: Jeder Punkt spannt mit dem Schwerpunkt ein Rechteck auf. Seine
Seiten sind die beiden Abweichungen, seine Fläche ist ihr Produkt. Das Vorzeichen des
Produkts sagt, in welchem Feld der Punkt liegt:
links unten: minus mal minus = plus
rechts oben: plus mal plus = plus
links oben und rechts unten: einmal plus, einmal minus = minus
Punkte rechts oben und links unten sprechen für „steigen gemeinsam“. Sie liefern positive
Produkte, im Bild grün. Punkte links oben und rechts unten sprechen dagegen. Sie liefern
negative Produkte, im Bild rot.
Die fünf Produkte:
( − 10,8 ) ⋅ ( − 1,74 ) = + 18,792 (-10{,}8) \cdot (-1{,}74) = +18{,}792 ( − 10 , 8 ) ⋅ ( − 1 , 74 ) = + 18 , 792 ( − 5,8 ) ⋅ ( − 0,84 ) = + 4,872 (-5{,}8) \cdot (-0{,}84) = +4{,}872 ( − 5 , 8 ) ⋅ ( − 0 , 84 ) = + 4 , 872 ( − 0,8 ) ⋅ 0,06 = − 0,048 (-0{,}8) \cdot 0{,}06 = -0{,}048 ( − 0 , 8 ) ⋅ 0 , 06 = − 0 , 048 4,2 ⋅ 0,26 = + 1,092 4{,}2 \cdot 0{,}26 = +1{,}092 4 , 2 ⋅ 0 , 26 = + 1 , 092 13,2 ⋅ 2,26 = + 29,832 13{,}2 \cdot 2{,}26 = +29{,}832 13 , 2 ⋅ 2 , 26 = + 29 , 832
Zusammenzählen, Schritt für Schritt: 18,792 + 4,872 = 23,664 18{,}792 + 4{,}872 = 23{,}664 18 , 792 + 4 , 872 = 23 , 664 0,048 0{,}048 0 , 048 23,616 23{,}616 23 , 616 1,092 1{,}092 1 , 092 24,708 24{,}708 24 , 708 29,832 29{,}832 29 , 832 54,54 \mathbf{54{,}54} 54 , 54
Das einzige negative Produkt, − 0,048 -0{,}048 − 0 , 048
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“): Die
Summe der Rechtecke
∑ ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) \sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) ∑ ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) misst die gemeinsame Streuung der
Paare um den Schwerpunkt. Überwiegen die Rechtecke rechts oben und links unten, ist sie
positiv.
s X Y = 54,54 4 = 13,635 s_{XY} = \dfrac{54{,}54}{4} = 13{,}635 s X Y = 4 54 , 54 = 13 , 635
Die Summe 54,54 wird noch durch n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 Stichprobenkovarianz s X Y s_{XY} s X Y X Y XY X Y
s X Y = 54,54 5 − 1 = 54,54 4 = 13,635 s_{XY} = \dfrac{54{,}54}{5 - 1} = \dfrac{54{,}54}{4} = \mathbf{13{,}635} s X Y = 5 − 1 54 , 54 = 4 54 , 54 = 13 , 635
Warum n − 1 n - 1 n − 1 Aus demselben Grund wie bei der Stichprobenvarianz: Die Abweichungen
werden vom geschätzten Schwerpunkt aus gemessen, nicht vom unbekannten wahren. Mit
n − 1 n - 1 n − 1 s X Y s_{XY} s X Y
s X Y s_{XY} s X Y Kovarianz der beiden Zufallsvariablen X X X Y Y Y c o v ( X , Y ) = E ( [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] ) \mathrm{cov}(X, Y) = E\bigl([X - E(X)]\,[Y -
E(Y)]\bigr) cov ( X , Y ) = E ( [ X − E ( X )] [ Y − E ( Y )] )
Das Vorzeichen sagt die Richtung. 13,635 13{,}635 13 , 635
Die Größe sagt dagegen wenig. Die Einheit ist „mg/cm³ mal Prozent“. Misst man das
Gewicht in g/cm³ statt mg/cm³, wird jede x x x s X Y = 0,013635 s_{XY} = 0{,}013635 s X Y = 0 , 013635
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“):
s X Y = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)(y_i - \bar y) s X Y = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) ( y i − y ˉ ) . Positiv heißt
gleichgerichtet, negativ gegenläufig. Der Wert hängt von den Einheiten ab.
s X = 85,7 ≈ 9,257429 s_X = \sqrt{85{,}7} \approx 9{,}257429 s X = 85 , 7 ≈ 9 , 257429 ,
s Y = 2,228 ≈ 1,492649 s_Y = \sqrt{2{,}228} \approx
1{,}492649 s Y = 2 , 228 ≈ 1 , 492649
Um die Kovarianz vergleichbar zu machen, teilt man sie durch die Streuung jeder Messreihe
für sich. Diese Streuung misst die Standardabweichung . Sie wird ähnlich gebaut wie
die Kovarianz. Nur multipliziert man jede Abweichung mit sich selbst statt mit der
Abweichung der anderen Größe:
Gewichte: Quadrate 116,64 116{,}64 116 , 64 33,64 33{,}64 33 , 64 0,64 0{,}64 0 , 64 17,64 17{,}64 17 , 64 174,24 174{,}24 174 , 24 342,8 342{,}8 342 , 8
Stärke: Quadrate 3,0276 3{,}0276 3 , 0276 0,7056 0{,}7056 0 , 7056 0,0036 0{,}0036 0 , 0036 0,0676 0{,}0676 0 , 0676 5,1076 5{,}1076 5 , 1076 8,912 8{,}912 8 , 912
Zum Beispiel ( − 10,8 ) 2 = ( − 10,8 ) ⋅ ( − 10,8 ) = 116,64 (-10{,}8)^2 = (-10{,}8) \cdot (-10{,}8) = 116{,}64 ( − 10 , 8 ) 2 = ( − 10 , 8 ) ⋅ ( − 10 , 8 ) = 116 , 64
Durch n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 Stichprobenvarianzen :
s X 2 = 342,8 : 4 = 85,7 s_X^2 = 342{,}8 : 4 = 85{,}7 s X 2 = 342 , 8 : 4 = 85 , 7 s Y 2 = 8,912 : 4 = 2,228 s_Y^2 = 8{,}912 : 4 = 2{,}228 s Y 2 = 8 , 912 : 4 = 2 , 228
Die Wurzeln daraus sind die Standardabweichungen:
s X = 85,7 ≈ 9,257429 s_X = \sqrt{85{,}7} \approx 9{,}257429 s X = 85 , 7 ≈ 9 , 257429 s Y = 2,228 ≈ 1,492649 s_Y = \sqrt{2{,}228} \approx
1{,}492649 s Y = 2 , 228 ≈ 1 , 492649
Die Gewichte streuen also typischerweise um rund 9,3 mg/cm³ um ihren Mittelwert, die
Stärkegehalte um rund 1,5 Prozentpunkte.
Gerundet wird auf sechs Nachkommastellen, weil mit beiden Zahlen weitergerechnet wird.
Nebenbei: Die Varianz ist die Kovarianz einer Größe mit sich selbst. Das Skript schreibt
c o v ( X , X ) = v a r ( X ) \mathrm{cov}(X, X) = \mathrm{var}(X) cov ( X , X ) = var ( X )
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): s 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 s^2 =
\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2 s 2 = n − 1 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) 2 und
s = s 2 s = \sqrt{s^2} s = s 2 . Die Standardabweichung
hat wieder die Einheit der Daten.
ρ ^ = 13,635 9,257429 ⋅ 1,492649 ≈ 0,98675 ≈ 0,9868 \hat\rho = \dfrac{13{,}635}{9{,}257429 \cdot 1{,}492649} \approx 0{,}98675 \approx
0{,}9868 ρ ^ = 9 , 257429 ⋅ 1 , 492649 13 , 635 ≈ 0 , 98675 ≈ 0 , 9868
Jetzt wird die Kovarianz durch beide Standardabweichungen geteilt. Das Ergebnis ist die
Stichprobenkorrelation ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ \rho ρ
ρ ^ = s X Y s X ⋅ s Y \hat\rho = \dfrac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y} ρ ^ = s X ⋅ s Y s X Y
Nenner: 9,257429 ⋅ 1,492649 ≈ 13,81809 9{,}257429 \cdot 1{,}492649 \approx 13{,}81809 9 , 257429 ⋅ 1 , 492649 ≈ 13 , 81809
ρ ^ = 13,635 13,81809 ≈ 0,98675 \hat\rho = \dfrac{13{,}635}{13{,}81809} \approx 0{,}98675 ρ ^ = 13 , 81809 13 , 635 ≈ 0 , 98675
Warum dieses Teilen hilft: Oben steht die Einheit „mg/cm³ mal %“, unten auch (s X s_X s X s Y s_Y s Y ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^ − 1 -1 − 1 1 1 1
ρ ^ = 1 \hat\rho = 1 ρ ^ = 1 ρ ^ = − 1 \hat\rho = -1 ρ ^ = − 1 ρ ^ \hat\rho ρ ^
0,98675 liegt sehr nahe an 1. Die fünf Punkte liegen also fast auf einer steigenden
Geraden. Das passt zum Bild.
Probe auf einem zweiten Weg: In s X Y s_{XY} s X Y s X 2 s_X^2 s X 2 s Y 2 s_Y^2 s Y 2 1 4 \frac{1}{4} 4 1 1 4 ⋅ 1 4 = 1 4 \sqrt{\tfrac14} \cdot
\sqrt{\tfrac14} = \tfrac14 4 1 ⋅ 4 1 = 4 1 1 4 \frac14 4 1 54,54 : 342,8 ⋅ 8,912 = 54,54 : 55,27236 ≈ 0,98675 54{,}54 : \sqrt{342{,}8 \cdot 8{,}912} =
54{,}54 : 55{,}27236 \approx 0{,}98675 54 , 54 : 342 , 8 ⋅ 8 , 912 = 54 , 54 : 55 , 27236 ≈ 0 , 98675
Rundung: Für die Antwort reicht ρ ^ ≈ 0,9868 \hat\rho \approx 0{,}9868 ρ ^ ≈ 0 , 9868 0,98675 0{,}98675 0 , 98675
Zur Musterlösung: Dort steht im Text ρ ^ ≈ 0,9878 \hat\rho \approx 0{,}9878 ρ ^ ≈ 0 , 9878 0,98675 0{,}98675 0 , 98675 0,9868 0{,}9868 0 , 9868
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“):
ρ ^ = s X Y s X s Y \hat\rho = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} ρ ^ = s X s Y s X Y schätzt die Korrelation
ρ = c o v ( X , Y ) v a r ( X ) v a r ( Y ) \rho =
\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{var}(X)}\sqrt{\mathrm{var}(Y)}} ρ = var ( X ) var ( Y ) cov ( X , Y ) . Es gilt immer
− 1 ≤ ρ ^ ≤ 1 -1
\le \hat\rho \le 1 − 1 ≤ ρ ^ ≤ 1 .
cor(x, y) = 0,98675 = 0{,}98675 = 0 , 98675 ✓
R rechnet dieselben Zahlen mit je einem Befehl. Das prüft die Rechnung von Hand; es
ersetzt sie nicht.
c(…) fasst Zahlen zu einer Reihe zusammen,
<- gibt ihr einen Namen. R schreibt einen Dezimalpunkt
statt eines Kommas und keinen Tausenderpunkt: 1.060 wird 1060,
9,6 wird 9.6.
mean: Mittelwert (Schritt 2). Das Semikolon trennt zwei
Befehle in einer Zeile.
cov(x, y): Stichprobenkovarianz s X Y s_{XY} s X Y n − 1 n - 1 n − 1
sd: Standardabweichung, englisch
standard deviation (Schritt 6).
cor(x, y): Stichprobenkorrelation ρ ^ \hat\rho ρ ^ correlation (Schritt 7).
Alle Werte stimmen mit der Rechnung von Hand überein. R zeigt 0,98675. Genauer ist es
0,98675000 … 0{,}98675000\ldots 0 , 98675000 …
Übrigens ist ρ ^ \hat\rho ρ ^ symmetrisch : cor(y, x) gibt
dasselbe. Welche Größe man x x x y y y
Aus Blatt 5, Aufgabe 3 („Stichprobenvarianz: die Länge der Fische“): Mit
x <- c(…) werden Daten in R eingegeben;
mean(x) und sd(x) geben Mittelwert und
Standardabweichung.
ρ ^ > 0 \hat\rho > 0 ρ ^ > 0 : positiv;
∣ ρ ^ ∣ ≈ 0,9868 > 0,7 |\hat\rho| \approx 0{,}9868 > 0{,}7 ∣ ρ ^ ∣ ≈ 0 , 9868 > 0 , 7 : stark
(i) fragt nach Art und Stärke des Zusammenhangs.
Art ist die Richtung. Man liest sie am Vorzeichen ab. ρ ^ ≈ 0,9868 \hat\rho \approx 0{,}9868 ρ ^ ≈ 0 , 9868 positiver oder gleichgerichteter Zusammenhang. Bei negativem ρ ^ \hat\rho ρ ^
Stärke hängt nur vom Abstand zu 0 ab, nicht vom Vorzeichen. Diesen Abstand nennt
man Betrag und schreibt ihn mit senkrechten Strichen: ∣ ρ ^ ∣ |\hat\rho| ∣ ρ ^ ∣ ∣ − 0,8 ∣ = 0,8 |-0{,}8| = 0{,}8 ∣ − 0 , 8∣ = 0 , 8 ∣ 0,8 ∣ = 0,8 |0{,}8| = 0{,}8 ∣0 , 8∣ = 0 , 8 ∣ ρ ^ ∣ = 0,9868 |\hat\rho| = 0{,}9868 ∣ ρ ^ ∣ = 0 , 9868
Die Daumenregel aus dem Skript (Tabelle rechts) sagt:
schwache Korrelation, wenn 0,5 < ∣ ρ ^ ∣ ≤ 0,7 0{,}5 < |\hat\rho| \le 0{,}7 0 , 5 < ∣ ρ ^ ∣ ≤ 0 , 7
starke Korrelation, wenn ∣ ρ ^ ∣ > 0,7 |\hat\rho| > 0{,}7 ∣ ρ ^ ∣ > 0 , 7
Für ∣ ρ ^ ∣ ≤ 0,5 |\hat\rho| \le 0{,}5 ∣ ρ ^ ∣ ≤ 0 , 5
0,9868 > 0,7 0{,}9868 > 0{,}7 0 , 9868 > 0 , 7 stark .
Antwort zu (i): Zwischen spezifischem Gewicht und Stärkegehalt besteht ein
starker positiver linearer Zusammenhang. „Linear“ heißt: Die Punkte streuen um eine
Gerade . Nur diese Art Zusammenhang misst die Korrelation.
Das ist auch die Antwort der Musterlösung.
Merke: Die Daumenregel beschreibt nur die Stichprobe. Ob der Zusammenhang über die
fünf Kartoffeln hinaus gilt, sagt sie nicht. Das prüft (ii).
Aus Aufgabe 1 dieses Blatts („Kovarianz und Korrelation: Werbung und Umsatz“): Art
= Vorzeichen, Stärke = Betrag nach der Daumenregel. Dort war
ρ ^ ≈ 0,8552 \hat\rho \approx 0{,}8552 ρ ^ ≈ 0 , 8552 ,
also ebenfalls stark positiv.
ρ ^ ≈ 0,9868 \hat\rho \approx 0{,}9868 ρ ^ ≈ 0 , 9868 bekannt,
ρ \rho ρ unbekannt: gilt
ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ = 0 ?
(i) hat gezeigt: In den fünf Kartoffeln steigen Gewicht und Stärke gemeinsam. (ii) fragt
mehr: Gilt das allgemein , für alle Kartoffeln dieser Art?
Deren Korrelation heißt ρ \rho ρ wahre Korrelation der
Zufallsvariablen X X X Y Y Y ρ ^ \hat\rho ρ ^ Schätzwert dafür, berechnet aus fünf Knollen. Mit fünf anderen Knollen käme ein
anderes ρ ^ \hat\rho ρ ^
Das Problem: Fünf Punkte können auch rein zufällig ungefähr auf einer Linie liegen.
Wie oft das passiert, zeigt eine Simulation in R (rechts):
rnorm(5) zieht fünf zufällige normalverteilte Zahlen. Zweimal
aufgerufen, entstehen fünf x x x y y y nichts miteinander zu tun
haben. Hier gilt also ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0
cor(…) rechnet dafür ρ ^ \hat\rho ρ ^ replicate(100000, …) wiederholt das 100.000-mal.
mean(abs(r) > 0.7) ist der Anteil der Fälle mit ∣ ρ ^ ∣ > 0,7 |\hat\rho|
> 0{,}7 ∣ ρ ^ ∣ > 0 , 7 abs ist der Betrag.
set.seed(1) legt den Startwert des Zufalls fest. So kommt beim
Nachrechnen dieselbe Zahl heraus.
Ergebnis: In rund 19 % der Fälle ist ∣ ρ ^ ∣ > 0,7 |\hat\rho| > 0{,}7 ∣ ρ ^ ∣ > 0 , 7 ρ ^ \hat\rho ρ ^
Deshalb braucht (ii) einen Test . Er entscheidet so, dass ein bestimmter Irrtum
selten bleibt: einen Zusammenhang zu behaupten, den es nicht gibt.
Die Simulation dient nur der Anschauung; für die Lösung ist sie nicht nötig. Mit einem
anderen Startwert kommt eine leicht andere Zahl heraus, immer rund 19 %.
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Ein Test
beantwortet die Frage: Könnten die Daten auch dann so aussehen, wenn es den vermuteten
Effekt gar nicht gibt? Nur wenn das sehr unwahrscheinlich ist, gilt der Effekt als
nachgewiesen.
Korrelationstest nach Pearson; Voraussetzung: normalverteilt (laut Aufgabe)
Für die Frage „Ist die wahre Korrelation ρ \rho ρ gemessener Größen von 0
verschieden?“ gibt es den Korrelationstest nach Pearson . Karl Pearson hat die
Stichprobenkorrelation in dieser Form eingeführt; ρ ^ \hat\rho ρ ^
Warum nicht der χ²-Unabhängigkeitstest? Der ist für Merkmale mit Kategorien, etwa
„ledig“ oder „verheiratet“. Hier liegen Messzahlen vor, und gefragt ist nach einem
linearen Zusammenhang. Dafür ist der Korrelationstest gemacht.
Voraussetzung (Skript): Beide Messreihen sind u.i.v. normalverteilt .
„u.i.v.“ heißt unabhängig und identisch verteilt :
unabhängig: Die fünf Kartoffeln beeinflussen einander nicht.
identisch verteilt: Alle x x x N ( μ X , σ X 2 ) N(\mu_X,
\sigma_X^2) N ( μ X , σ X 2 ) y y y N ( μ Y , σ Y 2 ) N(\mu_Y, \sigma_Y^2) N ( μ Y , σ Y 2 ) μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ 2
Unabhängig sein müssen die Kartoffeln untereinander. Ob x x x y y y
Hier: Die Aufgabe sagt „Normalverteilung der Daten wird angenommen“. Die
Voraussetzung gilt also als erfüllt. Wer sie trotzdem prüfen will, nimmt den
Shapiro-Wilk-Test (rechts, nur zur Kontrolle). Beide p p p
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Ein Test
hat eine
Nullhypothese H 0 H_0 H 0 , die Behauptung, die er zu widerlegen versucht. Er
liefert einen
p p p : Je kleiner er ist, desto schlechter passen die Daten zu
H 0 H_0 H 0 ; unter 5 % wird
H 0 H_0 H 0 verworfen. Der Shapiro-Wilk-Test (dort Schritt 16) prüft
H 0 H_0 H 0 : „normalverteilt“. Ist sein
p p p -Wert größer als 5 %, wird die Normalverteilung nicht
verworfen. Für den Korrelationstest kommen
H 0 H_0 H 0 und
p p p -Wert in den Schritten 12 und 18
ausführlich.
Aus Blatt 7, Aufgabe 6 („Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest: Trinkgewohnheit und
Familienstand“):
Der χ²-Unabhängigkeitstest prüft an einer Tabelle von Anzahlen, ob zwei Merkmale mit
Kategorien zusammenhängen.
H 0 : ρ = 0 H_0:\ \rho = 0 H 0 : ρ = 0 gegen
H A : ρ ≠ 0 H_A:\ \rho \ne 0 H A : ρ = 0 ,
α = 0,05 \alpha = 0{,}05 α = 0 , 05
Ein Test stellt zwei Hypothesen gegeneinander, also zwei Behauptungen. Die
Vermutung, die man zeigen will, kommt in die Alternative H A H_A H A Nullhypothese H 0 H_0 H 0
„Der Zusammenhang ist nachweisbar“ heißt: Die wahre Korrelation ist nicht 0. Also:
H 0 : ρ = 0 H_0:\ \rho = 0 H 0 : ρ = 0 H A : ρ ≠ 0 H_A:\ \rho \ne 0 H A : ρ = 0
Zweiseitig: H A H_A H A ρ ^ \hat\rho ρ ^ H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0 H A H_A H A
Warum nicht gleich „ρ > 0 \rho > 0 ρ > 0 Die Aufgabe fragt nur, ob „der Zusammenhang“
nachweisbar ist, ohne Richtung. Dass er positiv ist, weiß man bisher nur aus ρ ^ \hat\rho ρ ^
Signifikanzniveau: α = 5 % = 0,05 \alpha = 5\,\% = 0{,}05 α = 5 % = 0 , 05 Fehler 1. Art :
H 0 H_0 H 0 H 0 H_0 H 0
Nebenbei (Skript): Sind X X X Y Y Y ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 X X X Y Y Y
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Die
Vermutung gehört in
H A H_A H A , weil nur das Verwerfen von
H 0 H_0 H 0 abgesichert ist: Stimmt
H 0 H_0 H 0 ,
verwirft der Test sie höchstens mit Wahrscheinlichkeit
α \alpha α .
α \alpha α wird vor dem
Test festgelegt.
Aus Blatt 6, Aufgabe 6 („Einseitig oder zweiseitig: die Dicke der Marmorplatten“):
Zweiseitig heißt: Werte weit links und weit rechts sprechen gegen
H 0 H_0 H 0 . Jeder Rand
bekommt dann die Hälfte von
α \alpha α .
R = n − 2 ⋅ ρ ^ 1 − ρ ^ 2 R = \sqrt{n-2} \cdot \dfrac{\hat\rho}{\sqrt{1 - \hat\rho^2}} R = n − 2 ⋅ 1 − ρ ^ 2 ρ ^ , hier
3 ⋅ ρ ^ 1 − ρ ^ 2 \sqrt 3 \cdot
\dfrac{\hat\rho}{\sqrt{1 - \hat\rho^2}} 3 ⋅ 1 − ρ ^ 2 ρ ^
Jetzt wird ρ ^ \hat\rho ρ ^ Teststatistik umgerechnet: eine einzige Zahl, an der
entschieden wird. Das Skript nennt sie R R R
R = n − 2 ⋅ ρ ^ 1 − ρ ^ 2 R = \sqrt{n-2} \cdot \dfrac{\hat\rho}{\sqrt{1 - \hat\rho^2}} R = n − 2 ⋅ 1 − ρ ^ 2 ρ ^
Achtung, Verwechslungsgefahr: Die Teststatistik R R R R R R
Wie die Formel gebaut ist:
ρ ^ \hat\rho ρ ^ Zähler : Je weiter ρ ^ \hat\rho ρ ^ ∣ R ∣ |R| ∣ R ∣ R R R ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ = 0 \hat\rho = 0 ρ ^ = 0 R = 0 R = 0 R = 0
1 − ρ ^ 2 \sqrt{1 - \hat\rho^2} 1 − ρ ^ 2 Nenner : Liegen die Punkte eng an einer Geraden, ist
ρ ^ 2 \hat\rho^2 ρ ^ 2 1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2 R R R 1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2 y y y
n − 2 \sqrt{n - 2} n − 2 ρ ^ \hat\rho ρ ^ n − 2 n - 2 n − 2 n n n
Man kann R R R R = ρ ^ : 1 − ρ ^ 2 n − 2 R = \hat\rho : \sqrt{\frac{1 - \hat\rho^2}{n - 2}} R = ρ ^ : n − 2 1 − ρ ^ 2 Standardfehler von ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^ R R R ρ ^ \hat\rho ρ ^
Mit n = 5 n = 5 n = 5 5 − 2 = 3 \sqrt{5 - 2} = \sqrt 3 5 − 2 = 3 R R R ρ ^ \hat\rho ρ ^ − 1 -1 − 1 1 1 1 ± 1 \pm 1 ± 1
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Dort war
t ^ = n ⋅ d ˉ − μ 0 s D \hat t = \sqrt n \cdot \frac{\bar d - \mu_0}{s_D} t ^ = n ⋅ s D d ˉ − μ 0 : der Abstand vom Wert unter
H 0 H_0 H 0 ,
gemessen in Standardfehlern.
R R R folgt derselben Idee.
R = 1,732051 ⋅ 0,98675 0,0263244 = 1,709101 0,162248 ≈ 10,5339 R = \dfrac{1{,}732051 \cdot 0{,}98675}{\sqrt{0{,}0263244}} =
\dfrac{1{,}709101}{0{,}162248} \approx 10{,}5339 R = 0 , 0263244 1 , 732051 ⋅ 0 , 98675 = 0 , 162248 1 , 709101 ≈ 10 , 5339
Jetzt werden die Zahlen eingesetzt, Zeile für Zeile. Eingesetzt wird ρ ^ = 0,98675 \hat\rho =
0{,}98675 ρ ^ = 0 , 98675
Quadrieren: 0,98675 ⋅ 0,98675 = 0,9736755625 ≈ 0,9736756 0{,}98675 \cdot 0{,}98675 = 0{,}9736755625 \approx 0{,}9736756 0 , 98675 ⋅ 0 , 98675 = 0 , 9736755625 ≈ 0 , 9736756
Von 1 abziehen: 1 − 0,9736756 = 0,0263244 1 - 0{,}9736756 = 0{,}0263244 1 − 0 , 9736756 = 0 , 0263244 ρ ^ \hat\rho ρ ^
Wurzel ziehen: 0,0263244 ≈ 0,162248 \sqrt{0{,}0263244} \approx 0{,}162248 0 , 0263244 ≈ 0 , 162248
Zähler: 3 = 1,7320508 … ≈ 1,732051 \sqrt 3 = 1{,}7320508\ldots \approx 1{,}732051 3 = 1 , 7320508 … ≈ 1 , 732051 0,98675 0{,}98675 0 , 98675 1,709101 1{,}709101 1 , 709101
Teilen: 1,709101 : 0,162248 ≈ 10,5339 1{,}709101 : 0{,}162248 \approx \mathbf{10{,}5339} 1 , 709101 : 0 , 162248 ≈ 10 , 5339
Zwischenwerte werden mit sechs bis sieben Stellen mitgeführt; gerundet wird erst das
Ergebnis.
Was sagt die Zahl? Im Bild ist R R R ρ ^ \hat\rho ρ ^
Zur Musterlösung: Dort steht R ≈ 10,5542 R \approx 10{,}5542 R ≈ 10 , 5542 cor.test dagegen t = 10.534 aus
(Schritt 20), also unseren Wert. Woher der Unterschied kommt, zeigt der nächste Schritt.
ρ ^ \hat\rho ρ ^ :
+ 0,005 % +0{,}005\,\% + 0 , 005 % →
R R R :
+ 0,19 % +0{,}19\,\% + 0 , 19 % , fast 40-mal so viel
Die Musterlösung rundet ρ ^ \hat\rho ρ ^ 0,9868 0{,}9868 0 , 9868
R = 3 ⋅ 0,9868 1 − 0,9868 2 = 1,709188 0,0262258 R = \sqrt 3 \cdot \dfrac{0{,}9868}{\sqrt{1 - 0{,}9868^2}} =
\dfrac{1{,}709188}{\sqrt{0{,}0262258}} R = 3 ⋅ 1 − 0 , 986 8 2 0 , 9868 = 0 , 0262258 1 , 709188
R = 1,709188 0,161944 ≈ 10,5542 \phantom{R} = \dfrac{1{,}709188}{0{,}161944} \approx 10{,}5542 R = 0 , 161944 1 , 709188 ≈ 10 , 5542
Mit 0,98675 0{,}98675 0 , 98675 10,5339 10{,}5339 10 , 5339 ρ ^ \hat\rho ρ ^ 0,00005 0{,}00005 0 , 00005 R R R 0,02 0{,}02 0 , 02
Warum reagiert R R R Im Nenner steht 1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2 ρ ^ 2 \hat\rho^2 ρ ^ 2 0,0263 0{,}0263 0 , 0263
ρ ^ \hat\rho ρ ^
ρ ^ 2 \hat\rho^2 ρ ^ 2 1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2
Die Wurzel fällt um 0,19 %, und R R R
Die kleine Änderung ist also fast 40-mal verstärkt worden. Die Lupe im Bild zeigt es: Ein
kaum sichtbarer Schritt nach rechts ist ein deutlicher Sprung nach oben.
Mit dem Tippfehler 0,9878 aus dem Text der Musterlösung käme sogar R ≈ 10,99 R \approx 10{,}99 R ≈ 10 , 99
Für die Entscheidung ist das hier ohne Bedeutung: Alle drei Werte liegen weit über
der Grenze 3,18 aus Schritt 17. Liegen Daten aber knapp an der Grenze, kann zu frühes
Runden die Entscheidung kippen.
Merke: Erst am Ende runden. Zwischenwerte mit allen Stellen weiterverwenden, die
Taschenrechner oder R liefern. Besonders vorsichtig bei
ρ ^ \hat\rho ρ ^ nahe
± 1 \pm 1 ± 1 : Dort ist
1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2 sehr klein und
R R R sehr empfindlich.
wenn
H 0 H_0 H 0 stimmt:
T T T t-verteilt mit
n − 2 = 3 n - 2 = 3 n − 2 = 3 Freiheitsgraden
Ist R ≈ 10,53 R \approx 10{,}53 R ≈ 10 , 53 ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 R R R
Vor der Messung ist die Teststatistik also eine Zufallsvariable. Sie heißt T T T R ≈ 10,5339 R \approx
10{,}5339 R ≈ 10 , 5339
Wie T T T H 0 H_0 H 0 T T T t-verteilt mit n − 2 n - 2 n − 2 . Hier 5 − 2 = 3 5 - 2 =
3 5 − 2 = 3
Warum n − 2 n - 2 n − 2 n − 1 n - 1 n − 1
Anschaulich: Durch zwei Punkte geht immer genau eine Gerade. Bei n = 2 n = 2 n = 2 ρ ^ \hat\rho ρ ^ + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 5 − 2 = 3 5 - 2 = 3 5 − 2 = 3
Ausblick: Dahinter steht eine allgemeine Regel. Jede Größe, die man aus den Daten
schätzen muss, kostet einen Freiheitsgrad. Beim t-Test für eine Stichprobe war das der
Mittelwert, daher n − 1 n - 1 n − 1
Das Bild zeigt die Dichte der t-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden. Wahrscheinlichkeiten
sind Flächen darunter. Sie ist glockenförmig und symmetrisch um 0. Mit nur 3
Freiheitsgraden hat sie weit außen deutlich mehr Fläche als die Standardnormalverteilung
N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N ( 0 , 1 )
Achtung beim Bild: R ≈ 10,53 R \approx 10{,}53 R ≈ 10 , 53
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Unter
H 0 H_0 H 0 ist die Teststatistik des t-Tests t-verteilt. Die Zahl der Freiheitsgrade legt fest,
welche t-Verteilung gemeint ist; dort waren es
n − 1 = 4 n - 1 = 4 n − 1 = 4 . Je weniger Freiheitsgrade,
desto mehr Fläche liegt weit außen.
Aus Blatt 4, Aufgabe 3 („Standardnormalverteilung mit R“): Die
Standardnormalverteilung
N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N ( 0 , 1 ) ist die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 und
Varianz 1.
t 3 ; 0,975 ≈ 3,1824 t_{3;\,0{,}975} \approx 3{,}1824 t 3 ; 0 , 975 ≈ 3 , 1824 ;
∣ R ∣ ≈ 10,5339 > 3,1824 |R| \approx 10{,}5339 > 3{,}1824 ∣ R ∣ ≈ 10 , 5339 > 3 , 1824
Welche Werte von R R R beide Richtungen gegen H 0 H_0 H 0 R R R α \alpha α
α 2 = 0,05 2 = 0,025 = 2,5 % \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{0{,}05}{2} = 0{,}025 = 2{,}5\,\% 2 α = 2 0 , 05 = 0 , 025 = 2 , 5 % 2,5 % 2{,}5\,\% 2 , 5 %
Rechts der rechten Grenze liegen 2,5 %, links von ihr also 1 − 0,025 = 0,975 1 - 0{,}025 = 0{,}975 1 − 0 , 025 = 0 , 975 0,975-Quantil der t-Verteilung mit 3
Freiheitsgraden, geschrieben t 3 ; 0,975 t_{3;\,0{,}975} t 3 ; 0 , 975
R rechnet sie mit qt(0.975, df = 3) aus: 3,182446 3{,}182446 3 , 182446 3,1824 3{,}1824 3 , 1824
Der Ablehnbereich (im Bild rot) sind alle Werte mit ∣ R ∣ > 3,1824 |R| > 3{,}1824 ∣ R ∣ > 3 , 1824 R > 3,1824 R
> 3{,}1824 R > 3 , 1824 R < − 3,1824 R < -3{,}1824 R < − 3 , 1824 H A : ρ ≠ 0 H_A:\ \rho \ne 0 H A : ρ = 0
Vergleich: ∣ R ∣ ≈ 10,5339 |R| \approx 10{,}5339 ∣ R ∣ ≈ 10 , 5339 3,1824 3{,}1824 3 , 1824 R R R
Die roten Flächen laufen links und rechts über das Bild hinaus weiter: Jenseits von ± 5 \pm
5 ± 5
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Der
kritische Wert ist ein Quantil der t-Verteilung, in R
qt(Fläche links, df = Freiheitsgrade). Liegt die Teststatistik
im Ablehnbereich, wird
H 0 H_0 H 0 verworfen.
Aus Blatt 6, Aufgabe 6 („Einseitig oder zweiseitig: die Dicke der Marmorplatten“):
Zweiseitig steht
1 − α / 2 1 - \alpha/2 1 − α /2 im Quantil, einseitig
1 − α 1 - \alpha 1 − α .
p = 2 ⋅ P ( T ≥ 10,5339 ) ≈ 0,0018 ≤ 0,05 p = 2 \cdot P(T \ge 10{,}5339) \approx 0{,}0018 \le 0{,}05 p = 2 ⋅ P ( T ≥ 10 , 5339 ) ≈ 0 , 0018 ≤ 0 , 05
Der zweite Weg zur Entscheidung ist der p p p H 0 H_0 H 0
Zweiseitig heißt „extrem“: weit weg von 0, egal auf welcher Seite. Gezählt wird
also die Fläche rechts von 10,5339 10{,}5339 10 , 5339 und links von − 10,5339 -10{,}5339 − 10 , 5339 2 ⋅ 2 \cdot 2 ⋅
pt liefert die Fläche links einer Grenze. Die Fläche
rechts ist 1 minus diese. R antwortet 0,001827 0{,}001827 0 , 001827 p ≈ 0,0018 = 0,18 % p \approx 0{,}0018 =
0{,}18\,\% p ≈ 0 , 0018 = 0 , 18 %
In Worten: Gäbe es keinen Zusammenhang, käme ein so extremes R R R
Im Bild ist diese Fläche nicht zu sehen. Sie liegt hinter der unterbrochenen Achse und ist
hauchdünn.
Die Regel: H 0 H_0 H 0 p ≤ α p \le \alpha p ≤ α 0,0018 ≤ 0,05 0{,}0018 \le 0{,}05 0 , 0018 ≤ 0 , 05
Als Evidenzmaß (Tabelle rechts, aus dem Skript): p p p H 0 H_0 H 0 sehr vieles .
Warum beide Wege dasselbe sagen: R R R R R R
Aus Blatt 7, Aufgabe 1 („Gepaarter t-Test: wirkt das Haarwuchsmittel?“): Der
p p p -Wert ist eine Fläche unter der Dichte;
pt(x, df = …) gibt
die Fläche links von
x x x . Er ist
nicht die Wahrscheinlichkeit, dass
H 0 H_0 H 0 stimmt.
Aus Blatt 6, Aufgabe 6 („Einseitig oder zweiseitig: die Dicke der Marmorplatten“):
Beim zweiseitigen Test zählen für den
p p p -Wert beide Seiten. Wegen der Symmetrie ist er
doppelt so groß wie die Fläche auf einer Seite.
H 0 H_0 H 0 verwerfen: Zusammenhang nachweisbar
Jetzt ist alles beisammen:
Kritischer Wert (Schritt 17): ∣ R ∣ ≈ 10,5339 |R| \approx 10{,}5339 ∣ R ∣ ≈ 10 , 5339 3,1824 3{,}1824 3 , 1824
p p p p ≈ 0,0018 p \approx 0{,}0018 p ≈ 0 , 0018 α = 0,05 \alpha = 0{,}05 α = 0 , 05
Voraussetzung (Schritt 11): Normalverteilung laut Aufgabe angenommen.
Beide Wege sagen dasselbe: H 0 H_0 H 0
Antwort im Sachzusammenhang: Der Zusammenhang zwischen spezifischem Gewicht und
Stärkegehalt von Kartoffeln ist zum Niveau 5 % statistisch nachweisbar. Die wahre
Korrelation ist nicht 0.
Dass sie positiv ist, sagt das Vorzeichen von ρ ^ \hat\rho ρ ^ 0,9868 > 0 0{,}9868 > 0 0 , 9868 > 0
Was „nachweisbar“ hier bedeutet: Das Verfahren behauptet einen Zusammenhang, den es
nicht gibt, höchstens mit Wahrscheinlichkeit 5 %. Es heißt nicht, dass H A H_A H A
Merke: Die Antwort gehört in Worte der Aufgabe: nicht nur „
H 0 H_0 H 0 verwerfen“,
sondern was das für Gewicht und Stärke der Kartoffeln heißt.
t = 10.534, df = 3, p-value = 0.001827 ✓
cor.test(x, y) rechnet den ganzen Test mit einem Befehl. Ohne
weitere Angabe testet R zweiseitig, wie hier gewünscht. Die Ausgabe, Zeile für Zeile:
Pearson's product-moment correlation: der Korrelationstest
nach Pearson. „Produkt-Moment“ ist ein alter Name für ρ ^ \hat\rho ρ ^
t = 10.534: die Teststatistik. R nennt sie
t, weil sie t-verteilt ist; im Skript heißt sie R R R R ≈ 10,5339 R \approx 10{,}5339 R ≈ 10 , 5339
df = 3: die Freiheitsgrade n − 2 n - 2 n − 2 degrees of freedom heißt Freiheitsgrade.
p-value = 0.001827: der p p p
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0:
H A : ρ ≠ 0 H_A:\ \rho \ne 0 H A : ρ = 0
95 percent confidence interval: 0.8072993 0.9991660: ein
Konfidenzintervall für die wahre Korrelation ρ \rho ρ ρ \rho ρ ρ = 0 \rho = 0 ρ = 0 ρ \rho ρ
sample estimates: cor 0.98675: ρ ^ \hat\rho ρ ^
Alle Zahlen stimmen mit der Rechnung von Hand überein.
Aus Blatt 6, Aufgabe 1 („Konfidenzintervall bei bekannter Varianz“): Ein
95-%-Konfidenzintervall ist ein Bereich, der aus den Daten berechnet wird. Das Verfahren
trifft den wahren Wert bei 95 % aller Stichproben.
einseitig nur mit Richtung vorab; hier:
t 3 ; 0,95 ≈ 2,3534 t_{3;\,0{,}95} \approx 2{,}3534 t 3 ; 0 , 95 ≈ 2 , 3534 ,
p ≈ 0,000914 p \approx
0{,}000914 p ≈ 0 , 000914
Die Musterlösung schließt mit einem Hinweis: Hier wurde bewusst
zweiseitig getestet.
Die Regel: Die Richtung eines Tests legt man fest, bevor man die Daten
sieht. Man darf sie nicht aus denselben Daten ablesen, mit denen man dann testet.
Warum? Angenommen, jemand schaut erst auf ρ ^ \hat\rho ρ ^ H A : ρ > 0 H_A:\ \rho > 0 H A : ρ > 0 H A : ρ < 0 H_A:\ \rho
< 0 H A : ρ < 0 R R R H 0 H_0 H 0 10 % . Das
versprochene α = 5 % \alpha = 5\,\% α = 5 %
Wann einseitig erlaubt ist: wenn die Richtung schon vor der Messung aus der
Sache feststeht. Das wäre hier der Fall. Stärke ist der größte Teil der Trockenmasse einer
Kartoffel, also von allem außer Wasser. Eine Knolle mit hohem spezifischem Gewicht enthält
mehr Trockenmasse und damit mehr Stärke. Einen positiven Zusammenhang durfte man also
schon vorher erwarten.
Dann lauten die Hypothesen H 0 : ρ ≤ 0 H_0:\ \rho \le 0 H 0 : ρ ≤ 0 H A : ρ > 0 H_A:\ \rho > 0 H A : ρ > 0 R > t 3 ; 0,95 R
> t_{3;\,0{,}95} R > t 3 ; 0 , 95
kritischer Wert: qt(0.95, df = 3) = 2,353363 = 2{,}353363 = 2 , 353363 2,3534 2{,}3534 2 , 3534
R ≈ 10,5339 > 2,3534 R \approx 10{,}5339 > 2{,}3534 R ≈ 10 , 5339 > 2 , 3534 p = P ( T ≥ 10,5339 ) ≈ 0,000914 p = P(T \ge 10{,}5339) \approx 0{,}000914 p = P ( T ≥ 10 , 5339 ) ≈ 0 , 000914
In R heißt das alternative = "greater" („größer“). Die
Teststatistik bleibt t = 10.534, nur der p p p
Ergebnis: Beide Tests verwerfen H 0 H_0 H 0
Aus Blatt 6, Aufgabe 6 („Einseitig oder zweiseitig: die Dicke der Marmorplatten“):
Wer die Seite erst nach dem Blick auf die Daten wählt, verdoppelt den Fehler 1. Art. Erst
die Vermutung, dann die Daten. Ohne begründete Richtung testet man zweiseitig.
ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ = 0 nachgewiesen; eine Ursache nicht
Der Test hat gezeigt: ρ ≠ 0 \rho \ne 0 ρ = 0 nicht gezeigt, dass das eine das andere
verursacht .
Eine Korrelation misst nur, ob zwei Größen gemeinsam steigen oder fallen. Woher das kommt,
sagt sie nicht. Möglich ist:
X X X Y Y Y Y Y Y X X X oder eine dritte Größe beeinflusst beide.
Bei den Kartoffeln passt eher das Zweite oder Dritte. Stärke ist schwerer als Wasser.
Enthält eine Knolle mehr Stärke und damit mehr Trockenmasse, ist sie dichter und hat ein
höheres spezifisches Gewicht. Das Gewicht „macht“ also keine Stärke. Beide Messgrößen
spiegeln den Anteil der Trockenmasse.
Das Skript warnt mit einem Scherzbeispiel: Die Zahl der Piraten und die globale
Durchschnittstemperatur sind stark negativ korreliert (ρ = − 0,94 \rho = -0{,}94 ρ = − 0 , 94
Noch eine Grenze: ρ \rho ρ lineare Zusammenhänge. Das Skript zeigt
mit dem Anscombe-Quartett vier völlig verschiedene Punktwolken mit derselben Korrelation
0,816. Deshalb sieht man sich immer zuerst das Streudiagramm an. Hier liegen die Punkte
tatsächlich nahe an einer Geraden (Schritt 1).
Merke: „Statistisch nachweisbar“ heißt: Der Zusammenhang ist kaum durch Zufall zu
erklären. Eine Ursache ist damit nicht belegt; dafür braucht es etwa kontrollierte
Experimente. Mehr dazu in Aufgabe 4 dieses Blatts („Korrelation ist keine Kausalität“).
verwerfen bei
n = 5 n = 5 n = 5 erst ab
∣ ρ ^ ∣ > 0,8783 |\hat\rho| > 0{,}8783 ∣ ρ ^ ∣ > 0 , 8783
Diese Ergänzung geht über die Aufgabe hinaus. Sie beantwortet: Wie groß muss
ρ ^ \hat\rho ρ ^
Gesucht ist die Stelle, an der R R R 3,182446 3{,}182446 3 , 182446 ρ ^ \hat\rho ρ ^ ρ ^ \hat\rho ρ ^
Beide Seiten sind positiv. Dann ändert Quadrieren das Zeichen > > > ( 3 ) 2 = 3 (\sqrt
3)^2 = 3 ( 3 ) 2 = 3 3 ρ ^ 2 1 − ρ ^ 2 \frac{3\hat\rho^2}{1 - \hat\rho^2} 1 − ρ ^ 2 3 ρ ^ 2 3,182446 2 ≈ 10,127964 3{,}182446^2 \approx
10{,}127964 3 , 18244 6 2 ≈ 10 , 127964
Mit dem Nenner 1 − ρ ^ 2 1 - \hat\rho^2 1 − ρ ^ 2
Alle Terme mit ρ ^ 2 \hat\rho^2 ρ ^ 2 3 + 10,127964 = 13,127964 3 + 10{,}127964 =
13{,}127964 3 + 10 , 127964 = 13 , 127964
Teilen: 10,127964 : 13,127964 ≈ 0,771480 10{,}127964 : 13{,}127964 \approx 0{,}771480 10 , 127964 : 13 , 127964 ≈ 0 , 771480 0,8783 0{,}8783 0 , 8783
Ergebnis: Bei n = 5 n = 5 n = 5 ∣ ρ ^ ∣ > 0,8783 |\hat\rho| > 0{,}8783 ∣ ρ ^ ∣ > 0 , 8783
Die Lehre: Ein ρ ^ \hat\rho ρ ^ R ≈ 2,79 R \approx 2{,}79 R ≈ 2 , 79 n − 2 \sqrt{n - 2} n − 2
Unsere Kartoffeln liegen mit 0,9868 0{,}9868 0 , 9868
Größe
Weg
Wert
Schwerpunkt ( x ˉ ∣ y ˉ ) (\bar x \mid \bar y) ( x ˉ ∣ y ˉ )
5.354 : 5 5.354 : 5 5.354 : 5 56,7 : 5 56{,}7 : 5 56 , 7 : 5 1.070,8 | 11,34
Kovarianz s X Y s_{XY} s X Y
54,54 : 4 54{,}54 : 4 54 , 54 : 4 13,635
Standardabweichungen s X s_X s X s Y s_Y s Y
85,7 \sqrt{85{,}7} 85 , 7 2,228 \sqrt{2{,}228} 2 , 228 9,2574 und 1,4926
Korrelation ρ ^ \hat\rho ρ ^
13,635 : 13,8181 13{,}635 : 13{,}8181 13 , 635 : 13 , 8181 0,9868
Teststatistik R R R
3 ⋅ 0,98675 : 1 − 0,98675 2 \sqrt 3 \cdot 0{,}98675 : \sqrt{1 - 0{,}98675^2} 3 ⋅ 0 , 98675 : 1 − 0 , 9867 5 2 10,5339
kritischer Wert
qt(0.975, df = 3)3,1824
p p p 2 * (1 - pt(R, df = 3))0,0018
In Worten: In den fünf Kartoffeln steigen spezifisches Gewicht und Stärkegehalt fast
genau entlang einer Geraden, ρ ^ ≈ 0,9868 \hat\rho \approx 0{,}9868 ρ ^ ≈ 0 , 9868 R R R statistisch nachweisbar . Eine Ursache ist
damit nicht belegt.
Rückblick — so geht ein Korrelationstest:
(1) Streudiagramm ansehen. (2)
ρ ^ \hat\rho ρ ^ ausrechnen: Schwerpunkt, Produkte der
Abweichungen, durch
n − 1 n - 1 n − 1 teilen, durch
s X s Y s_X s_Y s X s Y teilen. (3)
H 0 : ρ = 0 H_0:\ \rho = 0 H 0 : ρ = 0 gegen
H A H_A H A
aufstellen; eine Richtung nur, wenn sie vorher feststeht;
α \alpha α festlegen. (4)
R = n − 2 ρ ^ / 1 − ρ ^ 2 R =
\sqrt{n-2}\,\hat\rho / \sqrt{1 - \hat\rho^2} R = n − 2 ρ ^ / 1 − ρ ^ 2 mit allen Stellen ausrechnen. (5) Mit
t n − 2 ; 1 − α / 2 t_{n-2;\,1-\alpha/2} t n − 2 ; 1 − α /2 vergleichen oder den
p p p -Wert bestimmen. (6) Antwort in Worten der
Aufgabe; mit
cor.test prüfen.
Zwei Fragen, zwei Werkzeuge: Wie stark ist der Zusammenhang in den Daten? Das sagt
die Daumenregel. Ist er über die Daten hinaus nachweisbar? Das sagt der Test. Bei wenigen
Paaren kann ein „starkes“
ρ ^ \hat\rho ρ ^ trotzdem Zufall sein (Schritte 10 und 23).