Zwei Münzen, jede zeigt Kopf (K) oder Zahl (Z). Beide werden gleichzeitig
geworfen.
Aus Aufgabe 1 („Ergebnisraum und Ereignisse“):
Ω (Omega) ist die Menge aller möglichen Ergebnisse. Sie heißt
Ergebnisraum. In der Aufgabe und im Skript heißt sie
Ereignisraum. Beide Wörter
meinen dasselbe. Jedes einzelne Ergebnis heißt
Elementarereignis.
∣Ω∣ ist die
Anzahl der Elemente von
Ω. Ein
Ereignis ist eine Teilmenge von
Ω, also
eine Auswahl aus den möglichen Ergebnissen.
„Gleichzeitig" ändert nichts: Es sind trotzdem zwei verschiedene Münzen. Man könnte eine davon
mit einem Stift markieren, und am Wurf würde sich nichts ändern. Deshalb halten wir sie
auseinander, als Münze 1 und Münze 2.
Merke: Bei mehreren Münzen ist ein Ergebnis nie ein einzelner Buchstabe, sondern immer
die ganze Kombination.
So gehen wir vor:
- Festlegen, wie ein Ergebnis aussieht: als Paar.
- Alle Paare aufzählen und zählen.
- Die Paare mit mindestens einem Kopf heraussuchen.
(K,Z): Münze 1 Kopf, Münze 2 Zahl
Ein Ergebnis des Experiments wird als Paar in runden Klammern geschrieben. An der
ersten Stelle steht Münze 1, an der zweiten Münze 2.
(K,Z) heißt also: Münze 1 Kopf, Münze 2 Zahl. (Z,K) heißt: Münze 1 Zahl, Münze 2 Kopf.
Das sind zwei verschiedene Ergebnisse. Bei einem Paar kommt es auf die Reihenfolge an, bei
einer Menge in geschweiften Klammern nicht.
Ω={(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)}
Damit nichts fehlt, geht man geordnet vor: erst alle Paare, die mit K anfangen, dann
alle, die mit Z anfangen.
| Münze 1 |
Münze 2 |
Ergebnis |
| K |
K |
(K,K) |
| K |
Z |
(K,Z) |
| Z |
K |
(Z,K) |
| Z |
Z |
(Z,Z) |
Diese vier Paare sind die Elemente von Ω.
∣Ω∣=2⋅2=4
Jedes Paar in Ω ist ein Elementarereignis. Gefragt ist also, wie viele Paare es
gibt.
Münze 1 hat 2 mögliche Ergebnisse, Münze 2 ebenfalls 2. Zu jedem Ergebnis
von Münze 1 passen beide Ergebnisse von Münze 2.
Deshalb wird multipliziert: 2⋅2=4 Elementarereignisse. Das passt zur
Tabelle mit ihren vier Zeilen.
Merke: Bei
n Münzen sind es
2n Ergebnisse, also
2 mal sich selbst
genommen,
n-mal. Bei drei Münzen sind es
2⋅2⋅2=8.
Oft wird notiert: „zweimal Kopf, einmal Kopf und einmal Zahl, zweimal Zahl". Das sind nur
drei Fälle.
Als Menge ist das möglich. Diese drei Fälle sind aber nicht gleich wahrscheinlich.
„Einmal Kopf, einmal Zahl" kann auf zwei Arten eintreten: (K,Z) und (Z,K). Bei fairen
Münzen hat es deshalb die Wahrscheinlichkeit 42. Die beiden anderen Fälle
haben je nur 41.
Merke: Mit den vier Paaren ist bei fairen Münzen jedes Ergebnis gleich
wahrscheinlich (je
41). Dann kann man Wahrscheinlichkeiten später durch
Abzählen bestimmen. Deshalb trennt man
(K,Z) und
(Z,K). So steht es auch in der
Musterlösung.
A={(K,K),(K,Z),(Z,K)}
Das gesuchte Ereignis nennen wir A. Mindestens einmal heißt: einmal oder öfter.
Also alle Paare, in denen irgendwo ein K steht.
Der Reihe nach geprüft: (K,K) passt, (K,Z) passt, (Z,K) passt, (Z,Z) passt nicht.
Damit ist A eine Teilmenge von Ω mit drei Elementen. Im Bild sind diese drei
Paare farbig markiert.
Ac={(Z,Z)}
Man kann A auch von der anderen Seite beschreiben: alles außer dem einen Fall
ohne Kopf.
Das Gegenereignis zu A enthält alle Ergebnisse aus Ω, die nicht in
A liegen. Man schreibt Ac und liest „A Komplement". Hier: kein einziges Mal Kopf,
also Ac={(Z,Z)}. Im Bild ist dieses Paar kräftig gefärbt.
Umgekehrt ist A dann „Ω ohne (Z,Z)". Das schreibt man A=Ω∖{(Z,Z)}. Der Schrägstrich ∖ heißt „ohne". Mehr dazu in Aufgabe 3.
Merke: Bei „mindestens ein …" ist das Gegenereignis oft viel kleiner. Hier ist es
nur ein Paar statt drei.
P(A)=43=0,75
Gefragt war das nicht. Mit dem Ergebnis aus (ii) lässt es sich aber direkt ausrechnen.
Die Aufgabe sagt nichts dazu. Wir nehmen hier an, dass beide Münzen fair
sind, also Kopf und Zahl gleich oft fallen. Dann hat jedes der vier Paare dieselbe
Wahrscheinlichkeit. So einen Ergebnisraum nennt man
Laplace-Raum. Mehr dazu in Aufgabe 5.
P(A) heißt „Wahrscheinlichkeit von A". Im Laplace-Raum zählt man ab: Anzahl der Paare
in A (die günstigen Ergebnisse) geteilt durch die Anzahl aller Paare (die
möglichen Ergebnisse).
P(A)=∣Ω∣∣A∣=43=0,75
In drei von vier Fällen fällt also mindestens einmal Kopf. Der Balken zeigt diesen Wert
P(A).
(i) Ω={(K,K),(K,Z),(Z,K),(Z,Z)} mit ∣Ω∣=4 Elementarereignissen.
(ii) A={(K,K),(K,Z),(Z,K)}.
Rückblick: Die Schreibweise als Paar hält
(K,Z) und
(Z,K) auseinander. So hat man
vier Ergebnisse, die bei fairen Münzen alle gleich wahrscheinlich sind.